已知m^2+n^2=1,x^2+y^2=9,则mx+ny的值域是?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 21:39:49

已知m^2+n^2=1,x^2+y^2=9,则mx+ny的值域是?
已知m^2+n^2=1,x^2+y^2=9,则mx+ny的值域是?

已知m^2+n^2=1,x^2+y^2=9,则mx+ny的值域是?
最简单的方法：三角换元法.
由m^2+n^2=1,设m=sinα,n=cosα,这里α∈R,
由x^2+y^2=9,设x=3sinβ,y=3cosβ,这里β∈R.
则mx+ny=3sinαsinβ+3cosαcosβ=3sin(α+β),
∵|sin(α+β)|≤1,
∴|mx+ny|≤3
∴-3≤mx+ny≤3.
即mx+ny的值域是[-3,3].

[-6,6],你可以把M，N看做直径为1的圆，X，Y是直径为3的圆，就不难得出结论了。

柯西不等式可解

建立坐标系，其中m^2+n^2=1是以（0、0）为圆心，半径为1的圆
x^2+y^2=9是以（0、0）为圆心，半径为3的圆
运用两点之间的距离公式
（x-m）^2+(y-n)^2大于等于4（大圆半径减小圆半径）小于等于16（大圆半径加小圆半径）
将不等式...

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建立坐标系，其中m^2+n^2=1是以（0、0）为圆心，半径为1的圆
x^2+y^2=9是以（0、0）为圆心，半径为3的圆
运用两点之间的距离公式
（x-m）^2+(y-n)^2大于等于4（大圆半径减小圆半径）小于等于16（大圆半径加小圆半径）
将不等式化简得
x^2-2mx+m^2+y^2-2ny+n^2大于等于4小于等于16
将已知数据代入
-2（mx+ny）+9+1大于等于4
mx+ny小于等于3
-2（mx+ny）+9+1小于等于16
mx+ny大于等于-3
或用柯西不等式

收起

用柯西不等式得：(mx+ny)^2≤（m^2+n^2）（x^2+y^2）=1*9
则：mx+ny的取值为
-3≤mx+ny≤3
柯西不等式为：（a1^2+a2^2+……+an^2）（b1^2+b2^2+……+bn^2）≥（a1b1+a2b2+……+anbn）^2
慢慢琢磨吧！！

用柯西不等式有
( mx+ny)^2<=(m^2+n^2)(x^2+y^2)=1*9=9
所以 -3<= mx+ny<=3

已知2^=x,2^n=y,m,n都是正整数,m>=n,求2^m-n+1 已知x^m+n=3,y^m-n=2,求代数式(-1/3x^2m+n·y^5m-6n)·(1/2x^m+2n·y^2n-m) 已知(m+n)x^n·y^m-2·(3xy^2+5x^2·y)=21x^m·y^n+1+35x^m+1·y^n,求m和n 已知x^m+n=9,y^m+n=16,求（-三分之一*x^m*y^n)^2*x^2n*y^2n的值? 已知x^m+n=9,y^m+n=16,求（-三分之一*x^m*y^n)^2*x^2n*y^2n的值? 已知,方程(2m-6)x^|n|+1+(n+2)y^m^2-8=0,求m,n 已知x,y是实数,集合m{x,y已知x,y是实数,集合m={x,y/x,1},n={x^2,x+y,0}.若m=n,求x^2012+y^2012的值已知M={(x,y)|y=-x^2+mx-1},N={(x,y)|y=-x+3,0 已知 8x^2y^3 与 -3x^m+1y^n+1 是同类项,则m+n= 已知单项式M、N满足2x(M+3x)=6x^2y^2+N,求M、N. 已知单项式M,N满足3x(M-5x)=6x^2y^3+N,求M,N 已知,单项式M,N满足2x（M+3x)=6x²y²+N,求M,N 已知集合M=｛y|y=x²-2x+3｝,N=｛y|y=2x²-3x+1｝则M∪N= 已知集合M={(x,y)|y=x+1},N={(x,y)|x^2+y^2=1},则集合M交N中元素有几个? 已知M=(x,y)|y>=x2 N=(x,y)|x2+(y-a)2 已知集合M={(x,y)|y=x+1},N={(x,y)||x|+y=2},则集合M∩N中元素的个数是? 已知x=2m-3n根号m+n+3是m+n+3的算术平方根,y=m-n+1根号m+2n是m+2n的立方根,求（x-y）的2006次方已知单项式M、N满足（6x^2y^3-M）/n=-2x+3,求M、N