作业帮已知过椭圆x^2+9y^2=9左焦点的直线交椭圆于P.Q两点,直线的倾斜角是a',(1)当a'为何值时,|PQ|等于椭圆的短轴长?(2)求|PQ|的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 19:29:35
已知过椭圆x^2+9y^2=9左焦点的直线交椭圆于P.Q两点,直线的倾斜角是a',(1)当a'为何值时,|PQ|等于椭圆的短轴长?(2)求|PQ|的取值范围.
已知过椭圆x^2+9y^2=9左焦点的直线交椭圆于P.Q两点,直线的倾斜角是a',
(1)当a'为何值时,|PQ|等于椭圆的短轴长?
(2)求|PQ|的取值范围.
已知过椭圆x^2+9y^2=9左焦点的直线交椭圆于P.Q两点,直线的倾斜角是a',(1)当a'为何值时,|PQ|等于椭圆的短轴长?(2)求|PQ|的取值范围.
椭圆方程可改写为x²/9+y²=1,所以a=3、b=1、c=2√2,左焦点F(-2√2,0),所以
直线PQ：y= a'(x+2√2),代入椭圆方程消y得：
(9a’²+1)x²+36√2a’²x+(72a’²-9)=0
设P(x1,y1)、Q (x2,y2),则y1= a'(x1+2√2),y2= a'(x2+2√2),由韦达定理有
x1+x2= -36√2 a’²/(9a’²+1)
x1x2=(72a’²-9)/(9a’²+1)
则|PQ|² =(x1-x2)²+(y1-y2)²
=(x1-x2)²+[ a'(x1+2√2)-a'(x2+2√2)]²
=(1+a'² )(x1-x2)²
=(1+a'² )[(x1+x2)²-4x1x2]
=(1+a'² )[(-36√2a’²)²/(9a’²+1)²-4*(72a’²-9)/(9a’²+1)]
=36(1+a'² )²/(9a’²+1)²
所以|PQ|=6(1+a'² )/(9a’²+1)
(1)依题意,|PQ|=2b=2,所以
6(1+a'² )/(9a’²+1)=2,解得a’=±√3/3
(2)令y=|PQ|=6(1+a'² )/(9a’²+1)得a'²=(6-y)/(9y-6),因为a'²≥0,所以
(6-y)/(9y-6)≥0,解得2/3