若1/2+x+y=1(x>0,y>0),且1/x+a/y≥8恒成立,则正实数a的最小值为?求详解

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/27 21:31:13

若1/2+x+y=1(x>0,y>0),且1/x+a/y≥8恒成立,则正实数a的最小值为?求详解
若1/2+x+y=1(x>0,y>0),且1/x+a/y≥8恒成立,则正实数a的最小值为?求详解

若1/2+x+y=1(x>0,y>0),且1/x+a/y≥8恒成立,则正实数a的最小值为?求详解
1/2+x+y=1
x+y=1/2
2(x+y)=1
1/x+a/y>=8恒成立,即有(1/x+a/y)*2(x+y)>=8恒成立.
即有1+y/x+ax/y+a>=4
y/x+ax/y>=3-a
又y/x+ax/y>=2根号y/x*ax/y=2根号a
故有3-a<=2根号a
a+2根号a-3>=0
(根号a+3)(根号a-1)>=0
即有根号a-1>=0,(由于根号a+3>0)
即有:根号a>=1
a>=1
即最小值是:1

∵1/2+x+y=1(x>0,y>0)
∴y=1/2 -x
∵1/x+a/y≥8恒成立
∴y+ax≥8xy恒成立
1/2-x+ax≥8x(1/2-x)恒成立
8x^2+(a-5)x+1/2≥0恒成立
令f(x)=8x^2+(a-5)x+1/2
此二次函数的顶点为((5-a)/16,(16-(a-5)^2)/32)
∵a=8>0

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∵1/2+x+y=1(x>0,y>0)
∴y=1/2 -x
∵1/x+a/y≥8恒成立
∴y+ax≥8xy恒成立
1/2-x+ax≥8x(1/2-x)恒成立
8x^2+(a-5)x+1/2≥0恒成立
令f(x)=8x^2+(a-5)x+1/2
此二次函数的顶点为((5-a)/16,(16-(a-5)^2)/32)
∵a=8>0
∴此二次函数开口向上
要使f(x)≥0恒成立只要(16-(a-5)^2)/32≥0
∴16≥(a-5)^2
∴1≤a≤9
则正实数a的最小值为1

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