作业帮设F1,F2,分别是椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左,右焦点,过F1且斜率为1的直线l与C交于A,B两点,且AF1,AB,BF2,成等差数列求证a=根号2b设点P（0,-1）满足PA=PB,求椭圆C的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 13:38:40
设F1,F2,分别是椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左,右焦点,过F1且斜率为1的直线l与C交于A,B两点,且AF1,AB,BF2,成等差数列求证a=根号2b设点P（0,-1）满足PA=PB,求椭圆C的方程
设F1,F2,分别是椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左,右焦点,过F1且斜率为1的直线l与C交于A,B两点,且AF1,AB,BF2,成等差数列
求证a=根号2b
设点P（0,-1）满足PA=PB,求椭圆C的方程
设F1,F2,分别是椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左,右焦点,过F1且斜率为1的直线l与C交于A,B两点,且AF1,AB,BF2,成等差数列求证a=根号2b设点P（0,-1）满足PA=PB,求椭圆C的方程
若AF2,AB,BF2成等差数列,则|AF2|+|BF2|=2|AB|,
又因为|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF2|+|BF2|+||AF1|+|BF1|=4a,
所以3|AB|=4a,|AB|=4a/3 ①,
设直线L为y=x+c,A(x1,y1),B(x2,y2),
将y=x+c代入x²/a²+y²/b²=1,整理得(a²+b²)x²+2a²cx+a²c²-a²b²=0(﹡),
所以x1+x2=-2a²c/(a²+b²),
又由焦半径公式得|AB|=|AF1|+|AF2|=a+ex1+a+ex2=2a+e(x1+x2),
所以|AB|=2a+e[-2a²c/(a²+b²)]=2a-2ac²/(a²+b²)=4b²/(a²+b²) ②,
由①、②得4a/3=4b²/(a²+b²) ,所以a²=2b²,即a=√2b.
此时,c=b=√2/2,方程(﹡)变为3x²+2√2ax=0,
所以x1=0,x2=-2√2a/3,故A(0,√2a/2),B(-2√2a/3,-√2a/6),
因为P(0.-1),且|PA|=|PB|,即|PA|²=|PB|²
所以(√2a/2+1)²=( -2√2a/3)²+( -√2a/6+1)²,解得a=0(舍去),或a=3√2,
所以椭圆C的方程是x²/18+y²/9=1.