作业帮若三角形ABC的三边a,b,c满足a+b=10,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则三角形ABC的周长最小为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 15:33:21
若三角形ABC的三边a,b,c满足a+b=10,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则三角形ABC的周长最小为
若三角形ABC的三边a,b,c满足a+b=10,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则三角形ABC的周长最小为
若三角形ABC的三边a,b,c满足a+b=10,(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则三角形ABC的周长最小为
a+b+c)(a+b-c)=3ab,
(10+c)(10-c)=3ab
100-c^2=3ab
即ab=(100-c^2)/3
a+b=10
当a=b=5时,代入c=5,a+b+c=15
当a,b不相等时:
那么a,b是方程x^2-10x+(100-c^2)/3=0的二个不等根.
判别式=100-4(100-c^2)/3>0
75-(100-c^2)>0
c^2>25
c>5
那么a+b+c>15
综上所述,当a=b=c=5时,周长最小是15.
15
(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)^2-c^2=100-c^2=3ab
c^2=100-3ab≥100-3*[(a+b)/2]^2=25
(a+b≥2根号（ab)得出来的，ab≤（a+b）/2)^2 )
c≥5
所以最小周长为15
因为在三角形中，三边满足(a+b+c)(a+b-c)=3ab，
所以（a+b)^2-c^2=3ab,
展开得ab=a^2+b^2-c^2,
把上式代入余弦定理得cosC=ab/2ab=1/2，所以C=60度，
又因为a+b=10，
由均值定理得：当a=b时，a*b有最大值，为25，
联立a*b=25……1式
a+b=10……2式
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因为在三角形中，三边满足(a+b+c)(a+b-c)=3ab，
所以（a+b)^2-c^2=3ab,
展开得ab=a^2+b^2-c^2,
把上式代入余弦定理得cosC=ab/2ab=1/2，所以C=60度，
又因为a+b=10，
由均值定理得：当a=b时，a*b有最大值，为25，
联立a*b=25……1式
a+b=10……2式
解得a=b=5,
又角C为60度，
所以该三角形为等边三角形，
所以三角形ABC的周长最小为5+5+5=15.
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