作业帮四棱锥p-ABCD中地面abcd为边长为2菱形,B=60 pa=pc pb=pd q,m,n分别为ad bc pq的中点若mn⊥pq1求op的长度2amn 与 却qmn 夹角的余弦值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 05:01:22
四棱锥p-ABCD中地面abcd为边长为2菱形,B=60 pa=pc pb=pd q,m,n分别为ad bc pq的中点若mn⊥pq1求op的长度2amn 与 却qmn 夹角的余弦值
四棱锥p-ABCD中地面abcd为边长为2菱形,B=60 pa=pc pb=pd q,m,n分别为ad bc pq的中点若mn⊥pq
1求op的长度
2amn 与 却qmn 夹角的余弦值
四棱锥p-ABCD中地面abcd为边长为2菱形,B=60 pa=pc pb=pd q,m,n分别为ad bc pq的中点若mn⊥pq1求op的长度2amn 与 却qmn 夹角的余弦值
1、连结AC、BD,交于O,连结QM,
∵四边形ABCDE是菱形,
∴对角线互相垂直平分,O在MQ上,QO=OM=1,
∵PA=PC,
∴PO⊥AC,
∵PD=PB,
∴PO⊥BD,
∵AC∩BD=O,
∴PO⊥平面ABCD,
∵QM∈平面ABCD,
∴PO⊥QM,
∴PO是QM的垂直平分线,
∴PQ=PM,
∵MN是PQ的垂直平分线,（已知）,
∴PM=QM,
∴△PQM是正△,
∴PO=√3QM/2=√3.
2、在底面作AH⊥QM,垂足H,连结NH,
∵PO⊥平面ABCD,
PQ∈平面PQM,
∴平面PQM⊥平面ABCD,
∴AH⊥平面PQM,
∴△NHM是△AMN在平面PQM上的投影,
设二面角A-MN-Q的平面角是θ,
则S△MNH=S△AMN*cosθ,
∵〈B=60°,
AB=BC,
∴△ABC是正△,
∴AM=√3,
∵〈HAQ=30°,
∴QH=AQ/2=1/2,
HM=QM-QH=3/2,
AN=√2,
在平面AMN上作MG⊥AN,交AN于G,
MN=AM=√3,
MG=√（3-1/2）=√10/2,
S△AMN=AN*MG/2=（√2*√10/2）/2=√5/2,
NH是△PQO的中位线,
∴NH=PO/2=√3/2,
S△NHM=NH*HM/2=（√3/2）*（3/2）/2=3√3/8,
（√5/2）*cosθ=3√3/8,
cosθ=3√15/20,
∴二面角A-MN-Q大小为arccos(3√15/20).