已知a,b,c,d均为正整数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd求证:a=b=c=d

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/12 23:50:01

已知a,b,c,d均为正整数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd求证:a=b=c=d
已知a,b,c,d均为正整数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd求证:a=b=c=d

已知a,b,c,d均为正整数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd求证:a=b=c=d
a^4+b^4 >= 2a^2b^2 等号仅在a=b时成立.
c^4+d^4 >= 2c^2d^2 等号仅在c=d时成立.
===>
a^4+b^4+c^4+d^4 >= 2a^2b^2 + 2c^2d^2 = 2((ab)^2+(cd)^2)>= 2 * 2(ab)(cd)= 4abcd 最后一个不等式,等号仅在ab=cd时成立.
所以 如果a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,则上面的不等式都必须是等式,即有:
a=b,c=d,ab=cd ===》 a=b=c=d