作业帮如果向量组α1,α2,...αs线性无关,试证:α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs线性无关
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:27:31
如果向量组α1,α2,...αs线性无关,试证:α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs线性无关
如果向量组α1,α2,...αs线性无关,试证:α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs线性无关
如果向量组α1,α2,...αs线性无关,试证:α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs线性无关
设有一组系数使得α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs组合为0
就是c1 α1+c2(α1+α2)+...+cs(α1+α2+...+αs)=0
重新按向量组合 得到
(c1+c2+...+cs) α1 + (c2 +c3+...+cs)α2 + ...+cs as =0
也就是
(c1,c2,...,cs)P ( α1,α1,...,as) =0
其中P=
1 1 .1
0 1 .1
0 0 1 ...1
0 0,.,1
因为 ( α1,α1,...,as)线性无关,因此
由(c1,c2,...,cs)P ( α1,α1,...,as) =0
可以得到
(c1,c2,...,cs)P=0
而显然det(P)=1,所以P是可逆的
所以(c1,c2,...,cs)= 0 P^(-1)=0
所以得证
α1,α2,...αs与α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs可以互相线性表示
所以向量组α1,α2,...αs与α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs同时线性相关和同时线性无关
证明: 因为 (α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs) = (α1,α2,...αs)A,
A =
1 1 .... 1
0 1 .... 1
0 0 1 ... 1
0 0, ...., 1
由 |A| = 1 ≠ 0 知 A 可逆.
所以 r(α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs) =r[ (α1,α2,...α...
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证明: 因为 (α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs) = (α1,α2,...αs)A,
A =
1 1 .... 1
0 1 .... 1
0 0 1 ... 1
0 0, ...., 1
由 |A| = 1 ≠ 0 知 A 可逆.
所以 r(α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs) =r[ (α1,α2,...αs)A ] = r(α1,α2,...αs) = s.
所以 α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs线性无关.
其中用到一个结论: 若P可逆, 则 r(PA) = r(AP) = r(A).
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