关于实数完备性公理的问题书上的公理定义是:如果X和Y是R的非空子集,且具有性质:对于任何x∈X,y∈Y,有x

关于实数完备性公理的问题书上的公理定义是:如果X和Y是R的非空子集,且具有性质:对于任何x∈X,y∈Y,有x
关于实数完备性公理的问题
书上的公理定义是:如果X和Y是R的非空子集,且具有性质:对于任何x∈X,y∈Y,有x<=y,那么存在c∈R,使对任何x∈X,y∈Y,有x<=c<=y
那么用文字的直观表达就是对实数的中任意两个数,无论多么靠近,都存在一个实数,处于他们之间.
那为什么不能这样定义:
对任何x∈R,y∈R,且x<=y,那么存在c∈R,使对任何x∈X,y∈Y,有x<=c<=y
我认为这样也可以对那个概念进行定义.

关于实数完备性公理的问题书上的公理定义是:如果X和Y是R的非空子集,且具有性质:对于任何x∈X,y∈Y,有x
你的理解是有问题的,一楼也并未理解该定义.
首先,你对于“实数的中任意两个数,无论多么靠近,都存在一个实数,处于他们之间”所下的“定义”是不正确的：
“对任何x∈R,y∈R”,且x<=y,那么存在c∈R,使“对任何x∈X,y∈Y”,有x<=c<=y
结论中出现的“对任何x∈R,y∈R”和条件冲突,不具有意义,应当改成
对任何x∈R,y∈R,且x<=y,那么存在c∈R,使x<=c<=y
这样才是那句直观叙述的定义.
然后给你解释一下原来的定义的意义.你应该已经有了实数概念,所以你只需要在有此观念的情况下回头去看那个定义讲了些什么.
条件"X和Y是R的非空子集,且具有性质:对于任何x∈X,y∈Y,有x<=y"本意要讲的是把实数集的某个子集划分成两个集合X和Y,X中的任何元素都比Y中的任何元素要小,直观上就是形如
X={x|x<=a外加一些其它条件},Y={y|y>=b外加一些其它条件} (其中a<=b)
的集合X和Y.在这种情况下集合X和Y之间是可以分离开来的,（a=b时才最多有一个公共元素a）,并且c=a是满足结论的.要注意的是结论里的c是用来分割集合X和Y的,这一结论很强,并不是仅仅介于两个实数x和y之间那么简单.
这个定义的来源就是所谓的Dedekind切割.
对于a∈R,
X={x=a|x∈Q}或者X={x<=a|x∈Q},Y={x>a|x∈Q}型的分割方式就叫做有理数的Dedekind切割；
X={x=a|x∈R}或者X={x<=a|x∈R},Y={x>a|x∈R}型的分割方式就叫做实数的Dedekind切割.
一组切割就唯一地确定出一个实数a,习惯上Dedekind切割不允许X和Y相交,不过这个影响不大.
一般来讲从有理数定义实数就是利用有理数的Dedekind切割来实现的,或者理解成实数公理的标准模型.

你这根本就不是一个问题！
你最后说 “对任何x∈R,y∈R,且x<=y”，后面又说“对任何x∈X,y∈Y”，那不就是说“对于任何x∈X,y∈Y,有x<=y”，与原公理不是一回事嘛。好好想想！你的意思是说我的表达方式和原定义是一回事？这就跟做一个选择题一样。选出表达最正确的一项。你的表达让人感觉别扭，不伦不类。...

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你这根本就不是一个问题！
你最后说 “对任何x∈R,y∈R,且x<=y”，后面又说“对任何x∈X,y∈Y”，那不就是说“对于任何x∈X,y∈Y,有x<=y”，与原公理不是一回事嘛。好好想想！

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你的区别就在于是，把前面的X，Y都改为了R。
按数学逻辑来说，原本的定义是指，“X和Y是R的非空子集”作为一个大前提，“x∈X,y∈Y”是一个小前提。在这两个前提下 x<=y 推出了 存在c∈R ， x∈X,y∈Y， x<=c<=y
所以你后面那里也应该改为x∈R,y∈R
即对任何x∈R,y∈R,且x<=y,那么存在c∈R,使对任何x∈R,y∈R,有x<=c<=y

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你的区别就在于是，把前面的X，Y都改为了R。
按数学逻辑来说，原本的定义是指，“X和Y是R的非空子集”作为一个大前提，“x∈X,y∈Y”是一个小前提。在这两个前提下 x<=y 推出了 存在c∈R ， x∈X,y∈Y， x<=c<=y
所以你后面那里也应该改为x∈R,y∈R
即对任何x∈R,y∈R,且x<=y,那么存在c∈R,使对任何x∈R,y∈R,有x<=c<=y
这样就可以了。不难发现这个命题与定义是等价的。

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在你的定义“对任何x∈R,y∈R,且x<=y,那么存在c∈R,使对任何x∈X,y∈Y,有x<=c<=y”并没有对X,Y进行定义，但我假设你的定义就是“X和Y是你通过你自己命题的前部的“对任何x∈R,y∈R,且x<=y"所定义的R的的两个非空子集，”，这样的话，确实是等价的，是正确的。但如果你对X,Y的定义是X=R,Y=R,那么正如其他朋友所说是理解错误的。（原因为命题的前部的x∈R,y∈R,且x<...

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在你的定义“对任何x∈R,y∈R,且x<=y,那么存在c∈R,使对任何x∈X,y∈Y,有x<=c<=y”并没有对X,Y进行定义，但我假设你的定义就是“X和Y是你通过你自己命题的前部的“对任何x∈R,y∈R,且x<=y"所定义的R的的两个非空子集，”，这样的话，确实是等价的，是正确的。但如果你对X,Y的定义是X=R,Y=R,那么正如其他朋友所说是理解错误的。（原因为命题的前部的x∈R,y∈R,且x<=y
已经把所谓的任意在R中任意取的x,y限定在了满足xy,与命题结论矛盾。OK

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