作业帮已知在RT三角形ABO中角AOB=90度,OA=3,OB=4,设P为三角形ABO内切圆上的动点,求PA^2+PB^2+PO^2的最小值和最大
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 18:24:14
已知在RT三角形ABO中角AOB=90度,OA=3,OB=4,设P为三角形ABO内切圆上的动点,求PA^2+PB^2+PO^2的最小值和最大
已知在RT三角形ABO中角AOB=90度,OA=3,OB=4,设P为三角形ABO内切圆上的动点,求PA^2+PB^2+PO^2的最小值和最大
已知在RT三角形ABO中角AOB=90度,OA=3,OB=4,设P为三角形ABO内切圆上的动点,求PA^2+PB^2+PO^2的最小值和最大
建立直角坐标系吧
以OB为x轴,OA为y轴
设点P坐标（x,y)
过P作PM垂直x轴于点M,作PN垂直y轴于点N
于是PA²=AN²+PN²=（3-y)²+x²
PB²=PM²+BM²=y²+（4-x)²
PO²=PM²+OM²=y²+x²
所以PA^2+PB^2+PO^2=（3-y)²+x²+y²+（4-x)²+y²+x²=3x²+3y²-6y-8x+25=3x²+3（y-1）²-8x+22 ①
继续求的三角形OAB内切圆方程为（x-1)²+（y-1)²=1,就是有（y-1)²=1-（x-1)²代入①
就是PA^2+PB^2+PO^2=3x²+3【1-（x-1)²】-8x+22 =22-2x,显然x取值范围是0≤x≤2
所以最大最小就知道了呀
是22和18
建立坐标，用坐标法很好做
以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，故A（0,3）、B（4,0），
设三角形ABO内切圆方程（x-m)²+（y-m)²=m²，
又因（4-m）+（3-m）=√（3²+4²），得m=1
故：内切圆方程（x-1)²+（y-1)²=1
设点P坐标（x,y)，
则：PA²=（3-y)...
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以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，故A（0,3）、B（4,0），
设三角形ABO内切圆方程（x-m)²+（y-m)²=m²，
又因（4-m）+（3-m）=√（3²+4²），得m=1
故：内切圆方程（x-1)²+（y-1)²=1
设点P坐标（x,y)，
则：PA²=（3-y)²+x²
PB²=y²+（4-x)²
PO²=y²+x²
故：PA^2+PB^2+PO^2=（3-y)²+x²+y²+（4-x)²+y²+x²=3x²+3y²-6y-8x+25
将（x-1)²+（y-1)²=1代入得：PA^2+PB^2+PO^2=22-2x，因0≤x≤2
故：x=0时22-2x最大为22，x=,2时22-2x最小为18.
所以：PA^2+PB^2+PO^2的最小值18和最大值22.
祝你谢谢快乐！
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