作业帮大一,不定积分
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 22:27:06
大一,不定积分
大一,不定积分
大一,不定积分
有理函数积分
2x+2 A Bx+C Dx+E
------------------- = ------- + --------- + -------------
(x-1)(x^2+1)^2 x-1 x^2+1 (x^2+1)^2
通分后比较分子有
2x+2=A(x^2+1)^2+(Bx+C)(x-1)(x^2+1)+(Dx+E)(x-1)
代入x=1
4=4A+0+0
A=1
2x+2=(x^2+1)^2+(Bx+C)(x-1)(x^2+1)+(Dx+E)(x-1)
右端x^4的系数为1+B=0
B=-1
2x+2=(x^2+1)^2+(-x+C)(x-1)(x^2+1)+(Dx+E)(x-1)
右端x^3的系数为C+1=0
C=-1
2x+2=(x^2+1)^2+(-x-1)(x-1)(x^2+1)+(Dx+E)(x-1)
=2x^2+1+1+(Dx+E)(x-1)
右端x^2的系数为 2+D=0
D=-2
2x+2=2x^2+1+1+(-2x+E)(x-1)
=2+2x+Ex-E
E+2=2
E=0
2x+2 1 -x-1 -2x
------------------- = ------- + --------- + -------------
(x-1)(x^2+1)^2 x-1 x^2+1 (x^2+1)^2
逐项积分
第一项=ln|x-1|
第二项= 积分-(1/2) 2x/(x^2+1)-1/(x^2+1) dx=(-1/2)ln(1+x^2)-arctan x
第三项= -积分2xdx/(x^2+1)^2=-积分 du/u^2,u=x^2+1
=1/u=1/(x^2+1)
加一起
积分
=ln|x-1|-(1/2)ln(1+x^2)-arctan x+1/(x^2+1)+C