一元一次方程的讲解和练习

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一元一次方程的讲解和练习

一元一次方程的讲解和练习
列一元一次方程解决应用问题
1、用方程解决应用问题的重要性在于,培养和提高分析问题、解决问题的能力.有人说过：评价一个初中生的思维清楚好事糊涂,几何比代数更明显,而代数中,首推应用问题.这话很有道理.
2、列方程解应用问题的原理：
正确列出方程能准确的表达出题目中量之间的关系,就是说,方程既是题意,而方程中的未知数既然能使方程成立,当然能够满足题意.
3、列方程过程的实质：
第一种说法：通过分析找,找出等量关系而,而列出方程.
这种说法含含糊糊无济于事.
第二种说法：把题目中蕴含的相等关系找出来,列出方程.
这种说法指了一个明确的方向,显然优于第一种说法.但它把相等关系神秘化了,容易使初学者望而生畏.
第三种说法：在题目描述的过程里,随便“拉出”一个量,依题意用两种方式表达它,中间连一等号,方程即列成.
4、举例
照这种说法,列方程岂不是唾手可得的事情吗?是的,请看下例.
例 一手推车满载时,可装半袋面粉加180斤大米,或者四袋面粉加五斤大米,求一袋面粉的重量.
设一斤面粉重x斤.
思考1 以两种方式表达半袋面粉的重量.

思考2 以两种方式表达180斤大米的重量.

思考3 以两种方式表达4袋面粉的重量.

思考4 以两种方式表达5斤大米的重量.

思考5 以两种方式表达1袋面粉的重量.

思考6 以两种方式表达半袋面粉的“半”字

思考7 以两种方式表达4袋面粉的“4

思考8 以两种方式表达手推车满载的重量

思考9 以两种方式表达一袋面粉的重量,并且在其中一种表达中不允许出现x

…………………
以上九种方程的列出,生动说明了前述“第三种说法”揭示了本质,为初学者学习“列方程解应用问题”指出了宽阔的道路,解除两位畏难心理.
5、寻求最简捷的列方程的思路.
比较九种思考,显然,列出方程8的思考最简捷,而方程9最晦涩,方程4,5,6,7也比较繁琐,这是为什么呢?
从原则上说,被“拉出来”分别用两种方式加以表达的量,在题目中给出的和在“设”中给出的越不直接,那么这时列方程的思考越简单；反之,列方程的思考,就相对复杂.这是什么道理呢?
可以打一个比喻：在甲城的A有一批文件（题目中的已知数据）要送给乙城的B（题中设为x的欲求量）,无论A到乙城送交B手中,或是B到甲城来取,都是最浪费时间的.这里,我们把A、B两人在某个地点相会看作是用两种方法表达了那个地点,即题中给过程的那个量.
前述方程9就是A到乙城送交B手中,事实上把方程右端的x抹去,这就是小学算术解法中的算式.从思考上,最费事,但很能锻炼思维.
前述方程中5,6,7就相当于B到甲城来取.
如果A、B相对出发,在途中相遇交取文件,则比较节省时间,假如在甲乙两城中间路途的中点附近相遇（即两种方式表达中点）,一般是最节省时间的.方程8在思考上最简捷,原因即在于此,它把思考工作量,分成了等号左右的两端.
优秀的解法,总是产生于不同解法的比较的雕琢中；同时,前已述及,即使迂繁的方法,也有很多锻炼思维的价值.而这正是学习列出方程解应用问题的主要目的.

例1. 在日历上任意圈出一竖列上的4个数,如果这4个数的和是54,那么这4个数是多少呢?如果这4数的和是70,那么这4个数是多少呢?你能否找到一种最快的方法,马上说出这4个数是多少?
例2. 将一个内部长、宽、高分别为300mm、300mm和80mm的长方体容器内装满水,然后倒入一个内径是200mm,高是200mm的圆柱形容器中,问水是否会溢出来?
例3. 某顾客与一个体服装店老板商量,想以同样的价格买走店中的2件上衣,若按成本算,其中一件店主可盈利25%,而另一件店主要亏损25%,店主的想法是：在这次交易中绝对不能亏本.请你想一想,这次交易能做成吗?请说明理由.
例4. 七年级三班学生参加义务劳动,原来每组8人,后来根据需要重新编组,每组14人,这样比原来减少3组.问这个班共有学生多少人?
例5. 一辆汽车以每小时60千米的速度由甲地始往乙地,车行驶了4小时30分钟后,遇雨路滑,则平均行驶速度每小时减少20千米,结果比预计时间晚45分钟到达乙地,求甲、乙两地的距离.（设不同的未知数,用三种方法加以解决）
例6. 一个三位数三个数字之和是24,十位数字比百位数字少2,如果这个三位数减去两个数字都与百位数字相同的一个两位数所得的数也是三位数,而这三位数三个数字的顺序和原来三位数的数字的顺序恰好颠倒,求原来的三位数.
例7. 有浓度为98%的硫酸溶液8千克,加入浓度为20%的硫酸溶液多少千克,可配制成浓度为60%的硫酸溶液.
例8. 银行存款整存整取一年期的年利率为2.25%,五年期的年利率为2.88%.
求：（1）现有人民币a元,用上述两种方法存入银行,哪种存法五年后得到的利息多,多多少?（用代数式表示）
（2）黄宇同学将自己的压岁钱1000元存入银行,存期为一年,连续存了5年（即第一年末取出本金和利息,又继续存入本金1000元,第二年末再取出,这样连续存5次）；王婷同学将稿费收入及积攒的零花钱共800元存入银行,存期为5年,整存整取.若不考虑利息税,问这两位同学五年后谁得到的利息多,多多少?
一. 选择题.
1. 现在儿子的年龄是8岁,父亲的年龄是儿子年龄的4倍,（ ）年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍.
A. 6B. 5C. 4D. 3
2. 某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务,实际上该班组每天比计划多生产了6个零件,结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件,若设该班组要完成的零件任务为x个,则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 一个两位数,它的十位数字加上个位数字的7倍,还是等于这个两位数,这样的两位数有（ ）.
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
4. 把含酒精60%的溶液9000克,变为含酒精40%的溶液则需加水量是（ ）
A. 4500克B. 3500克C. 450克D. 350克
5. 某商品的销售价为225元,利润率为25%,那么该商品的进价应该为（ ）
A. 180元B. 200元C. 225元D. 250元
6. 甲、乙二人去商店买东西,他们所带钱数的比是7：6,甲用掉50元,乙用掉60元,则二人余下的钱数比为3：2,求二人余下的钱数分别是（ ）
A. 140元、120元B. 60元、40元
C. 80元、80元D. 90元、60元
7. 一蓄水池有甲、乙两个进水管,单开甲管20小时可注满水池,两管齐开只需12小时,那么单开乙管需（ ）小时.
A. 32B. 30C. 8D. 以上答案均不对
8. 某电视机厂10月份产量为10x台,以后每月增长率为5%,那么到年底再能生产（ ）万台.
A. B.
C. D.
9. 甲、乙两人练习百米赛跑,甲的速度是6.5米/秒,乙的速度是7米/秒,若乙让甲先跑1秒,则乙追上甲需（ ）.
A. 14秒B. 13秒C. 7秒D. 6.5秒
二. 填空题.
1. 三角形三边长之比为7：5：4,若中等长度的一边长的两倍比其它两边长的和少3cm,则三角形的周长为___________.
2. 某中学的实验室需含碘20%的碘酒,现有含碘25%的碘酒350克,应加纯酒精________克.
3. 要锻造一个直径为8cm,高为4cm的圆柱形毛坯,至少应截取直径为4cm的圆钢______cm.
4. 甲仓库有煤360吨,乙仓库有煤520吨,从甲仓库取出x吨,运到乙仓库,这时甲仓库有煤______吨,乙仓库有煤______吨,如果这时甲仓库的煤数是乙仓库煤数的一半,那么根据这个条件列出的方程是_________.
5. 一项工程,甲独做a天可以完成,乙独做b天可以完成,那么甲每天的工作效率是_______,乙每天的工作效率是________；如果两人合做m天,那么甲完成这项工程的________,乙完成这项工程的________,两人共完成这项工程的_________,还余下工程的_________.
6. 若一艘轮船在静水中的速度是7千米/小时,水的速度为2千米/小时,那么这艘轮船逆流而上的速度为_________,顺流而下的速度为__________.
7. 甲、乙两人同时从相距27千米的A、B两地相向而行,3小时后相遇,如果甲比乙每小时多走1千米,求甲、乙两人的速度.
本题的一个等量关系式是____________.
设乙的速度为每小时x千米,则甲的速度为每小时_______千米；
列出相应的方程为_________；解得,甲的速度为每小时________千米,乙的速度为每小时________千米.
三. 解答题.
1. 在一次区里举办的知识竞赛中,某校代表队的平均分是88分,其中女生的平均成绩比男生高10%,而男生人数比女生人数多10%,问男、女生的平均成绩各是多少分?
2. 已知圆柱的底面直径是60毫米,高为100毫米,圆锥的底面直径是120毫米,且圆柱的体积比圆锥的体积多一半,求圆锥的高是多少?
3. 圆周长60米,甲、乙两物体沿圆周在同一个点同时同向运动（甲比乙快）每隔15秒相遇一次,若在同一个点同时反向运动,则每隔5秒相遇一次,求甲、乙两物体的运动速度.
4. 有一人问老师,他所教的班级有多少学生,老师说：“一半学生在学数学,四分之一的学生在学音乐,七分之一的学生在学外语,还剩不足六位学生正在操场踢足球.”你知道这个班有多少学生吗?
5. 由于洪水渗漏造成堤坝内积水,用三部抽水机抽水,单独用一部抽水机抽尽,第一部需用24小时,第二部需用30小时,第三部需用40小时.现在第一部、第二部共同抽8小时后,第三部也加入,问从开始到结束,一共用了多少小时才把水抽掉?
6. 有两个两位数,其十位数字均是个位数字的一半,第二个数的十位数字比第一个数的十位数字小1,第一个数加上第二个数后仍为两位数,且和恰为原来第一数十位与个位上数字交换后所得数,求第一个两位数.
7. 商店里有种皮衣,每件售价600元可获利20%,现在客户以2800元总价购买了若干件皮衣,而商家仍有12%的利润,问客户买了几件皮衣

溶溶

用方程解决应用问题的重要性在于，培养和提高分析问题、解决问题的能力。有人说过：评价一个初中生的思维清楚好事糊涂，几何比代数更明显，而代数中，首推应用问题。这话很有道理。
2、列方程解应用问题的原理：
正确列出方程能准确的表达出题目中量之间的关系，就是说，方程既是题意，而方程中的未知数既然能使方程成立，当然能够满足题意。...

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用方程解决应用问题的重要性在于，培养和提高分析问题、解决问题的能力。有人说过：评价一个初中生的思维清楚好事糊涂，几何比代数更明显，而代数中，首推应用问题。这话很有道理。
2、列方程解应用问题的原理：
正确列出方程能准确的表达出题目中量之间的关系，就是说，方程既是题意，而方程中的未知数既然能使方程成立，当然能够满足题意。

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列一元一次方程解决应用问题
1、用方程解决应用问题的重要性在于，培养和提高分析问题、解决问题的能力。有人说过：评价一个初中生的思维清楚好事糊涂，几何比代数更明显，而代数中，首推应用问题。这话很有道理。
2、列方程解应用问题的原理：
正确列出方程能准确的表达出题目中量之间的关系，就是说，方程既是题意，而方程中的未知数既然能使方程成立，当然能够满足题意。
3、...

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列一元一次方程解决应用问题
1、用方程解决应用问题的重要性在于，培养和提高分析问题、解决问题的能力。有人说过：评价一个初中生的思维清楚好事糊涂，几何比代数更明显，而代数中，首推应用问题。这话很有道理。
2、列方程解应用问题的原理：
正确列出方程能准确的表达出题目中量之间的关系，就是说，方程既是题意，而方程中的未知数既然能使方程成立，当然能够满足题意。
3、列方程过程的实质：
第一种说法：通过分析找，找出等量关系而，而列出方程。
这种说法含含糊糊无济于事。
第二种说法：把题目中蕴含的相等关系找出来，列出方程。
这种说法指了一个明确的方向，显然优于第一种说法。但它把相等关系神秘化了，容易使初学者望而生畏。
第三种说法：在题目描述的过程里，随便“拉出”一个量，依题意用两种方式表达它，中间连一等号，方程即列成。
4、举例
照这种说法，列方程岂不是唾手可得的事情吗？是的，请看下例。
例 一手推车满载时，可装半袋面粉加180斤大米，或者四袋面粉加五斤大米，求一袋面粉的重量。
设一斤面粉重x斤。
思考1 以两种方式表达半袋面粉的重量。

思考2 以两种方式表达180斤大米的重量。

思考3 以两种方式表达4袋面粉的重量。

思考4 以两种方式表达5斤大米的重量。

思考5 以两种方式表达1袋面粉的重量。

思考6 以两种方式表达半袋面粉的“半”字

思考7 以两种方式表达4袋面粉的“4

思考8 以两种方式表达手推车满载的重量

思考9 以两种方式表达一袋面粉的重量，并且在其中一种表达中不允许出现x

…………………
以上九种方程的列出，生动说明了前述“第三种说法”揭示了本质，为初学者学习“列方程解应用问题”指出了宽阔的道路，解除两位畏难心理。
5、寻求最简捷的列方程的思路。
比较九种思考，显然，列出方程8的思考最简捷，而方程9最晦涩，方程4，5，6，7也比较繁琐，这是为什么呢？
从原则上说，被“拉出来”分别用两种方式加以表达的量，在题目中给出的和在“设”中给出的越不直接，那么这时列方程的思考越简单；反之，列方程的思考，就相对复杂。这是什么道理呢？
可以打一个比喻：在甲城的A有一批文件（题目中的已知数据）要送给乙城的B（题中设为x的欲求量），无论A到乙城送交B手中，或是B到甲城来取，都是最浪费时间的。这里，我们把A、B两人在某个地点相会看作是用两种方法表达了那个地点，即题中给过程的那个量。
前述方程9就是A到乙城送交B手中，事实上把方程右端的x抹去，这就是小学算术解法中的算式。从思考上，最费事，但很能锻炼思维。
前述方程中5，6，7就相当于B到甲城来取。
如果A、B相对出发，在途中相遇交取文件，则比较节省时间，假如在甲乙两城中间路途的中点附近相遇（即两种方式表达中点），一般是最节省时间的。方程8在思考上最简捷，原因即在于此，它把思考工作量，分成了等号左右的两端。
优秀的解法，总是产生于不同解法的比较的雕琢中；同时，前已述及，即使迂繁的方法，也有很多锻炼思维的价值。而这正是学习列出方程解应用问题的主要目的。

例1. 在日历上任意圈出一竖列上的4个数，如果这4个数的和是54，那么这4个数是多少呢？如果这4数的和是70，那么这4个数是多少呢？你能否找到一种最快的方法，马上说出这4个数是多少？
例2. 将一个内部长、宽、高分别为300mm、300mm和80mm的长方体容器内装满水，然后倒入一个内径是200mm，高是200mm的圆柱形容器中，问水是否会溢出来？
例3. 某顾客与一个体服装店老板商量，想以同样的价格买走店中的2件上衣，若按成本算，其中一件店主可盈利25%，而另一件店主要亏损25%，店主的想法是：在这次交易中绝对不能亏本。请你想一想，这次交易能做成吗？请说明理由。
例4. 七年级三班学生参加义务劳动，原来每组8人，后来根据需要重新编组，每组14人，这样比原来减少3组。问这个班共有学生多少人？
例5. 一辆汽车以每小时60千米的速度由甲地始往乙地，车行驶了4小时30分钟后，遇雨路滑，则平均行驶速度每小时减少20千米，结果比预计时间晚45分钟到达乙地，求甲、乙两地的距离。（设不同的未知数，用三种方法加以解决）
例6. 一个三位数三个数字之和是24，十位数字比百位数字少2，如果这个三位数减去两个数字都与百位数字相同的一个两位数所得的数也是三位数，而这三位数三个数字的顺序和原来三位数的数字的顺序恰好颠倒，求原来的三位数。
例7. 有浓度为98%的硫酸溶液8千克，加入浓度为20%的硫酸溶液多少千克，可配制成浓度为60%的硫酸溶液。
例8. 银行存款整存整取一年期的年利率为2.25%，五年期的年利率为2.88%。
求：（1）现有人民币a元，用上述两种方法存入银行，哪种存法五年后得到的利息多，多多少？（用代数式表示）
（2）黄宇同学将自己的压岁钱1000元存入银行，存期为一年，连续存了5年（即第一年末取出本金和利息，又继续存入本金1000元，第二年末再取出，这样连续存5次）；王婷同学将稿费收入及积攒的零花钱共800元存入银行，存期为5年，整存整取。若不考虑利息税，问这两位同学五年后谁得到的利息多，多多少？
一. 选择题。
1. 现在儿子的年龄是8岁，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，（ ）年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍。
A. 6B. 5C. 4D. 3
2. 某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 一个两位数，它的十位数字加上个位数字的7倍，还是等于这个两位数，这样的两位数有（ ）。
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
4. 把含酒精60%的溶液9000克，变为含酒精40%的溶液则需加水量是（ ）
A. 4500克B. 3500克C. 450克D. 350克
5. 某商品的销售价为225元，利润率为25%，那么该商品的进价应该为（ ）
A. 180元B. 200元C. 225元D. 250元
6. 甲、乙二人去商店买东西，他们所带钱数的比是7：6，甲用掉50元，乙用掉60元，则二人余下的钱数比为3：2，求二人余下的钱数分别是（ ）
A. 140元、120元B. 60元、40元
C. 80元、80元D. 90元、60元
7. 一蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管20小时可注满水池，两管齐开只需12小时，那么单开乙管需（ ）小时。
A. 32B. 30C. 8D. 以上答案均不对
8. 某电视机厂10月份产量为10x台，以后每月增长率为5%，那么到年底再能生产（ ）万台。
A. B.
C. D.
9. 甲、乙两人练习百米赛跑，甲的速度是6.5米/秒，乙的速度是7米/秒，若乙让甲先跑1秒，则乙追上甲需（ ）。
A. 14秒B. 13秒C. 7秒D. 6.5秒
二. 填空题。
1. 三角形三边长之比为7：5：4，若中等长度的一边长的两倍比其它两边长的和少3cm，则三角形的周长为___________。
2. 某中学的实验室需含碘20%的碘酒，现有含碘25%的碘酒350克，应加纯酒精________克。
3. 要锻造一个直径为8cm，高为4cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4cm的圆钢______cm。
4. 甲仓库有煤360吨，乙仓库有煤520吨，从甲仓库取出x吨，运到乙仓库，这时甲仓库有煤______吨，乙仓库有煤______吨，如果这时甲仓库的煤数是乙仓库煤数的一半，那么根据这个条件列出的方程是_________。
5. 一项工程，甲独做a天可以完成，乙独做b天可以完成，那么甲每天的工作效率是_______，乙每天的工作效率是________；如果两人合做m天，那么甲完成这项工程的________，乙完成这项工程的________，两人共完成这项工程的_________，还余下工程的_________。
6. 若一艘轮船在静水中的速度是7千米/小时，水的速度为2千米/小时，那么这艘轮船逆流而上的速度为_________，顺流而下的速度为__________。
7. 甲、乙两人同时从相距27千米的A、B两地相向而行，3小时后相遇，如果甲比乙每小时多走1千米，求甲、乙两人的速度。
本题的一个等量关系式是____________。
设乙的速度为每小时x千米，则甲的速度为每小时_______千米；
列出相应的方程为_________；解得，甲的速度为每小时________千米，乙的速度为每小时________千米。
三. 解答题。
1. 在一次区里举办的知识竞赛中，某校代表队的平均分是88分，其中女生的平均成绩比男生高10%，而男生人数比女生人数多10%，问男、女生的平均成绩各是多少分？
2. 已知圆柱的底面直径是60毫米，高为100毫米，圆锥的底面直径是120毫米，且圆柱的体积比圆锥的体积多一半，求圆锥的高是多少？
3. 圆周长60米，甲、乙两物体沿圆周在同一个点同时同向运动（甲比乙快）每隔15秒相遇一次，若在同一个点同时反向运动，则每隔5秒相遇一次，求甲、乙两物体的运动速度。
4. 有一人问老师，他所教的班级有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足六位学生正在操场踢足球。”你知道这个班有多少学生吗？
5. 由于洪水渗漏造成堤坝内积水，用三部抽水机抽水，单独用一部抽水机抽尽，第一部需用24小时，第二部需用30小时，第三部需用40小时。现在第一部、第二部共同抽8小时后，第三部也加入，问从开始到结束，一共用了多少小时才把水抽掉？
6. 有两个两位数，其十位数字均是个位数字的一半，第二个数的十位数字比第一个数的十位数字小1，第一个数加上第二个数后仍为两位数，且和恰为原来第一数十位与个位上数字交换后所得数，求第一个两位数。
7. 商店里有种皮衣，每件售价600元可获利20%，现在客户以2800元总价购买了若干件皮衣，而商家仍有12%的利润，问客户买了几件皮衣

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