作业帮求积分,极限……如下图
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 04:43:44
求积分,极限……如下图
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1、令y=tx,t是参数,代入原方程可解得x=1/(t^3(1+t)),y=1/(t^2(1+t)),故dx=-(3t^2+4t^3)/(t^6(1+t)^2)dt,不定积分=-积分号(（1+t)(3t^2+4t^3)dt)=-(t^3+7/4t^4+4/5t^5)+C=-（(y/x)^3+7/4(y/x)^4+4/5(y/x)^5）+C
2、表达式改写为1/n求和（k=1到n）（1/(1+k^2/n^2)）,此式是函数f(x)=1/(1+x^2)在【0,1】区间上的积分和,定义域均分为n份,节点都去自区间的右端点,因此极限为f在【0,1】上的积分pi/4.
3、做极坐标变换得F(t)=2pi积分(下限0上限t)rf(r^2)dr,由微积分基本定理得F'(t)=2pi*t*f(t^2),
F''(0)=lim(F’(t)-F'(0))/(t-0)=lim2pi*f(t^2)=2pif(0)=2pi.
4、分部积分得原积分=积分号xdf'(x)=xf'(x)-积分号f'(x)dx=xf‘(x)-f(x)+C.
5、交换积分顺序,原积分区域是0《x《a,0《y《x,也可以写为0《y《a,y《x《a,因此有原积分=积分(下限0上限a)dy积分（下限y上限a）f(y)dx=积分(下限0上限a)（a-y)f(y)dy,变量y再用x表示就行.