作业帮当x∈(0,π/4)时,求函数f(x)=cos^2x/(cosx sinx-sin^2x)的最小值到底哪个对啊....
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 10:22:15
当x∈(0,π/4)时,求函数f(x)=cos^2x/(cosx sinx-sin^2x)的最小值到底哪个对啊....
当x∈(0,π/4)时,求函数f(x)=cos^2x/(cosx sinx-sin^2x)的最小值
到底哪个对啊....
当x∈(0,π/4)时,求函数f(x)=cos^2x/(cosx sinx-sin^2x)的最小值到底哪个对啊....
f(x)=cos2x/(cosxsinx-sin2x)
=cos2x/[(1/2)sin2x-sin2x]
=cos2x/[-(1/2)sin2x]
=-2cot2x
x∈(0,π/4),2x∈(0,π/2),
所以cot2x∈(0,+∞）
故f(x)∈(-∞,0)没有最小值
f(x)=cos(2x)/(cosxsinx-sin(2x))
=-(cosx-sinx)/(cosxsinx)
=-sqrt(((cosx-sinx)^2)/(cosxsinx)^2)
=-sqrt((1-2sinxcosx)/(cosxsinx)^2)
=-sqrt(4(1-sin2x)/sin2x^2) 设sin2x=t ...
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f(x)=cos(2x)/(cosxsinx-sin(2x))
=-(cosx-sinx)/(cosxsinx)
=-sqrt(((cosx-sinx)^2)/(cosxsinx)^2)
=-sqrt((1-2sinxcosx)/(cosxsinx)^2)
=-sqrt(4(1-sin2x)/sin2x^2) 设sin2x=t 0
=-sqrt(4(m^2-m))
上式根式下为一个二次函数，且对称轴为m=1，故此函数不会有最小值，只会无限趋于负无穷，也没有最大值，最大无限趋近于-1
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f(x)
=cos²x/(cosxsinx-sin²x)
显然cosx≠0
分子分母同时除以cos²x得
f(x)
=1/(tanx-tan²x)
设t=tanx，∵x∈(0,π/4),∴t=tanx∈(0，1）
即求f(t)=1/(t-t²)在t∈(0,1)时的最小值
令g...
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f(x)
=cos²x/(cosxsinx-sin²x)
显然cosx≠0
分子分母同时除以cos²x得
f(x)
=1/(tanx-tan²x)
设t=tanx，∵x∈(0,π/4),∴t=tanx∈(0，1）
即求f(t)=1/(t-t²)在t∈(0,1)时的最小值
令g(t)=-t²+t=-(t-½)²+¼
在t∈(0，1）时，g(t)恒为正，且在t=½时取得最大值
∴f(t)=1/g(t)在t=½处取得最小值，
即f(t)的最小值为4
即f(x)在所给范围的的最小值是4
谢谢
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