∑n^2*x^n求和函数n从0到+∞,求详解

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 06:52:00

∑n^2*x^n求和函数n从0到+∞,求详解
∑n^2*x^n求和函数
n从0到+∞,求详解

∑n^2*x^n求和函数n从0到+∞,求详解
设f(x)=∑(n=0→∞)n^2x^n=∑(n=1→∞)n^2x^n
收敛半径为1/limsup(n^(2/n))=1
f(x)/x=∑(n=1→∞)n^2x^(n-1)
F(x)=∫(0→x)f(t)/tdt=∑(n=1→∞)∫(0→x)n^2t^(n-1)dt=∑(n=1→∞)nx^n
F(x)/x=∑(n=1→∞)nx^(n-1)
∫(0→x)F(t)/tdt=∑(n=1→∞)∫(0→x)nt^(n-1)dt=∑(n=1→∞)x^n=x/(1-x)
F(x)/x=(x/(1-x))'=1/(1-x)^2
F(x)=∫(0→x)f(t)/tdt=x/(1-x)^2
f(x)/x=(x/(1-x)^2)'=(1+x)/(1-x)^3
f(x)=x(1+x)/(1-x)^3