作业帮关于椭圆的离心率数学题目椭圆 X^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的两焦点为F1、F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,求椭圆的离心率.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 04:27:59
关于椭圆的离心率数学题目椭圆 X^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的两焦点为F1、F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,求椭圆的离心率.
关于椭圆的离心率数学题目
椭圆 X^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的两焦点为F1、F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,求椭圆的离心率.
关于椭圆的离心率数学题目椭圆 X^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的两焦点为F1、F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,求椭圆的离心率.
记三角形上面的顶点为E,EF1交椭圆于点D,连结DF2.
等边三角形的边长为：|F1F2| = 2C （c为焦距）
由于椭圆恰好平分正三角形的另两条边,即D是EF1的中点,因此：
|DF1| = 三角形边长的一半 = c
|DF2| = |F1F2|*sin60 = (√3)*c
由椭圆性质“椭圆上任一点到2焦点的距离之和=2a”,而D刚好在椭圆上,因此：
|DF1| + |DF2| = c + (√3)*c = 2a
即：
离心率e = c/a = 2/(1+√3) = √3-1
椭圆恰好平分正三角形的另两条边
说明另两边的中点在椭圆上
中点坐标为 （c/2，根号3c/2）
代入到椭圆方程中
整理后可得
c^2/(4a^2)+3c^2/(4b^2)=1
将b^2=a^2-c^2代入 整理后可得
（c^2/a^2-4)^2=12
e^2=c^2/a^2=4－根号12（e<1 e=4+根号12 舍去）
e^...
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椭圆恰好平分正三角形的另两条边
说明另两边的中点在椭圆上
中点坐标为 （c/2，根号3c/2）
代入到椭圆方程中
整理后可得
c^2/(4a^2)+3c^2/(4b^2)=1
将b^2=a^2-c^2代入 整理后可得
（c^2/a^2-4)^2=12
e^2=c^2/a^2=4－根号12（e<1 e=4+根号12 舍去）
e^2＝4－根号12＝4-2根号3＝（根号3－1）^2
所以随圆的离心率为
e＝√3-1
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