若正实数a b满足a+b=1,则4/(a+1)+1/b的最小值

若正实数a b满足a+b=1,则4/(a+1)+1/b的最小值
若正实数a b满足a+b=1,则4/(a+1)+1/b的最小值

若正实数a b满足a+b=1,则4/(a+1)+1/b的最小值
令a+1=t,则t>1
∴t+b=2
∴4/(a+1)+1/b
=(4/(a+1)+1/b)*2/2
=(4/t+1/b)*(b+t)/2
=(5+t/b+4b/t)/2
≥(5+2(t/b*4b/t))/2
=9/2
当且仅当 t=2b,b=2/3.t=4/3时取得
此时 a=1/3,b=2/3
此时原式最小值为9/2

a+b=1
令c=a+1
那么c+b=a+1+b=2
原式=4/c+1/b=(1/2)(c+b)(4/c+1/b)=(1/2)(4+1+4b/c+c/b)>=(1/2)(5+2√4)=9/2
当且仅当4b/c=c/b, 即c=2b,b=2/3, a=1/3时，取等号。