作业帮三道立体几何题P是120度的二面角内的一点,其公共棱为AB,P到棱AB的距离为根号下21,P到两面的距离之比为2:3,求P到两面的距离分别为多少?长宽高分别为abc的长方体中,以各面的中心为顶点可得一
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 23:05:59
三道立体几何题P是120度的二面角内的一点,其公共棱为AB,P到棱AB的距离为根号下21,P到两面的距离之比为2:3,求P到两面的距离分别为多少?长宽高分别为abc的长方体中,以各面的中心为顶点可得一
三道立体几何题
P是120度的二面角内的一点,其公共棱为AB,P到棱AB的距离为根号下21,P到两面的距离之比为2:3,求P到两面的距离分别为多少?
长宽高分别为abc的长方体中,以各面的中心为顶点可得一个八面体,该八面体的体积为?
已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长相等,D是A1C1中点,则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为?
希望有过程,过程详细还会加分的~
三道立体几何题P是120度的二面角内的一点,其公共棱为AB,P到棱AB的距离为根号下21,P到两面的距离之比为2:3,求P到两面的距离分别为多少?长宽高分别为abc的长方体中,以各面的中心为顶点可得一
1、设P至两个平面距离分别为PE、PD,P至公共棱AB距离为PH,连结DH、EH,根据三垂线定理,DH⊥AB,EH⊥AB,<EHD是二面角E-AB-D有平面角,〈EHD=120度,
PE/PD=2/3,设PE=2x,PD=3x,
(2x)^2+HE^2=21,4x^2+HE^2=21,…..(1)
(3x)^2+HD^2=21,
<EHD=120°,〈EPD=60°,作EF⊥PD,PF=PE/2=x,
FD=EHsin60°=√3/2EH,
PF+FD=PD=3x,x+√3/2EH=3x,
EH=4x/√3,
代入（1）式,
4x^2+16x^2/3=21,
x=3/2,
PE=3,PD=9/2,
P至两面的距离分别为3和9/2.
2、以各面的中心为顶点得的八面体是由两个四棱锥合成,
设长方体为ABCD-A1B1C1D1,从高AA1中点作一个平行底面ABC的截面,则侧面中心4个点组成一个菱形,对角线分别为a,b,(矩形截面4中点连线组成一个菱形)
两个四棱锥的高都是c/2,
∴八面体体积=2*(ab/2)*(c/2)/3=abc/6.
3、作DE⊥AC,设棱长=1,B1D=√3/2,AD=CD=√5/2,
S△ACD=DE*AC/2=1*1/2=1/2,
BD1⊥A1C1,DE⊥B1D,B1D⊥平面ACC1A1,
V三棱锥B1ADC= S△ACD*B1D/3=（1/2）*（√3/2）/3=√3/12,
设A点至平面B1CD的距离为h,
B1C=√2,B1D^2+CD^2=3/4+5/4=2,B1C^2=2,
B1D⊥平面ACC1A1,CD∈平面ACC1A1,
B1D⊥CD,
S△B1CD=B1D*CD/2=（√3/2）*√5/2/2=√15/8,
V三棱锥A-CDB1= S△B1CD*h/3=h√15/8/3=h√15/24,
V三棱锥B1ADC= V三棱锥A-CDB1,
√3/12= h√15/24,
h=2√5/5,
设AD与平面CDB1成角为θ,
sinθ=h/AD=(2√5/5)/( √5/2)=4/5.
直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为4/5.