什么叫三角形中位线

什么叫三角形中位线
什么叫三角形中位线

什么叫三角形中位线
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

三角形、梯形的中位线

【目的要求】
1.要求掌握三角形，梯形中位线定义．
2.要求掌握三角形、梯形中位线定理．
3.在定理的证明和解题的过程中，培养运用“转化”思想，引导学生会添加适当的辅助线，把未知转化为已知，用已掌握的知识来研究新问题，从而提高分析问题和解决问题的能力．
【知识要点】
1.中位线概念：
(...

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三角形、梯形的中位线

【目的要求】
1.要求掌握三角形，梯形中位线定义．
2.要求掌握三角形、梯形中位线定理．
3.在定理的证明和解题的过程中，培养运用“转化”思想，引导学生会添加适当的辅助线，把未知转化为已知，用已掌握的知识来研究新问题，从而提高分析问题和解决问题的能力．
【知识要点】
1.中位线概念：
(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
注意：
(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的 线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段．
(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段．
(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线．
2.中位线定理：
(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
【重点与难点分析】
重点：三角形、梯形中位线的概念及定理．
通过三角形、梯形中位线的概念及定理的证明的学习使学生掌握三角形、梯形中位线的定义，掌握三角形、梯形的中位线定理及其应用．
难点：
1.三角形中位线定理的证明，课本采用“同一法”证明的，其基础是(1)三角形中位线定理与平行线等分线段定理的推论1是互为逆命题的关系．(2)线段的中点是唯一的，过两点的直线也是唯一的．
定理证明的其它方法：
(1)通过旋转图形构造基本图形——平行四边形．(2)过三个顶点分别向中位线作垂线．

2.梯形中位线定理的证明，课本采用“化归”思想，把梯形中位线问题化归为三角形中位线问题来证明．
定理证明的其它方法：
(1)连结一条对角线 (2)过上底一端作一腰平行线 (3)过一腰中点作另一腰平等线．
3.通过添加辅助线解决有关三角形中位线、梯形中位线的问题，提高分析问题，解决问题的能力．
【典型例题】
例一、
已知：在梯形ABCD中AD‖BC，对角线AC⊥BD，EF为梯形的中位线
∠DBC=30°
求证：EF=AC．
分析：第一种证法：平移对角线AC至DG位置，将梯形问题转化为三角形问题
第二种证法：在特殊的Rt三角形中去求解，即证AO=AD，OC=BC得到
AC=(AD＋BC)
证法1：过D作DG‖AC与BC的延长线交于一点G
∵AC⊥BD于O
∴∠BOC=∠BDG=90°
∵AD‖BC 即AD‖CG
∴四边形ACGD为平行四边形
∴CG=AD，DG=AC
∴DG=BG，即AC=(BD＋CG)=(BC＋AD)
∵EF为梯形ABCD的中位线
∴EF=(BC＋AD)
∴EF=AC．
证法2：∵AD‖BC
∴∠ADB=∠DBC=30°
∵AC⊥BD于O
∴AO=AD，OC=BC
∴AC=(AD＋BC)
∵EF为梯形ABCD的中位线
∴EF=(AD＋BC)
∴EF=AC.
例二、
已知：在D ABC中，AG⊥BC于G，E、F、H分别为AB、BC、CA的中点．
求证：四边形EFGH为等腰梯形．
分析：要证四边形EFGH为等腰梯形即证EH‖BC，通过E、H为AB、AC中点可证，再证EF=HG= AC，而E、F为AB、BC中点EF=AC，GH为RtD AGH斜边上中线也可得HG=AC或证梯形EFGH同一 底上的两个角相等．
证法一：∵E、F、H分别为AB、BC、CA的中点
∴EH、EF为D ABC的中位线
∴EH‖BC，EF=AC、EH=BC
∴AG⊥BC，H为AC中点
∴HG=AC
∴EF=HG
∵EH=BC，FG＜BC
∴EH≠FG
∴EF不平行HG
∴四边形EFGH为等腰梯形．
证法二：∵E、F、H分别为AB、BC、CA的中点
∴EF、EH为D ABC的中位线
∴EH‖BC，EF‖AC EH=BC
∵FG＜BC
∴EH≠FG
∴EF不平行于HG
∴四边形EFGH是梯形
∴∠EFC＋∠C=180°即∠EFC=180°－∠C
∵AG⊥BC于G，H为AC中点
∴HG=AC，即HG=HC
∴∠HGC=∠C
∵∠HGB＋∠HGC=180°即∠HGB=180°－∠HGC
∴∠EFC=∠HGB
∴梯形EFGH是等腰梯形.
例三、
已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AF为∠BAC的平分线，交BD于E，BC于F．
求证：OE=FC．
分析：欲证OE=FC需找到一条与OE相等且与FC有关的一条线段，添加辅助线过O作OG‖BC， 由于O为正方形对角线交点，O为AC中点，推出G为AF中点，因此有OG=FC，再通过三角形内角和定理证出∠3=∠4推出OG=OE，从而得出题证．
证明：过O作OG‖BC交AF于G，则∠5=∠ACB
∵四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于O
∴AO=CO=OB AC⊥BD ∠BAC=∠ACB=45°∴∠5=45°
∴G为AF的中点
∴OG为D AFC的中位线
∴OG=FC
∵AF平分∠BAC
∴∠1=∠2=22.5°
∴∠4=67.5°
∵∠3是D AGC的外角
∴∠3=∠2＋∠5=22.5°＋45°=67.5°
∴∠3=∠4
∴OG=OE
∴OE=FC
例四、
已知：梯形ABCD中AD BC，E为AB中点，且AD＋BC=DC
求证：DE⊥EC，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．
证法1：取DC中点F，连结EF，E为AD中点，则EF为梯形的中位线
∴EF‖AD‖BC EF=(AD＋BC)
∴∠1=∠5，∠3=∠6
∵DC=AD＋BC
∴EF=DC=DF=CF
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠2=∠5，∠4=∠6
∴∠1＋∠3＋∠2＋∠4=180°
∴∠1＋∠3=90°
∴DE⊥C，DE平分ADC，CE平分∠CD
证法2：延长CE与DA延长线交于一点F，过程略．
证法3：在DC上截取DF=AD，连结AF、BF、EF过程省．

【练习】
一、填空题：
1.已知图a中AC‖EF‖GH‖DB．AB、CD交于O，AO=OF=FH=HB=AC=2.5cm，则HG= ．
2.已知图b，D ABC中AB=AC，AD⊥BC，M为AD中点，DF‖CE，AC=9cm，则AE= ．
3.已知图c，在梯形ABCD中AD‖EF‖BC，AE=EB，EM‖DC且EM=3.5cm，则DF= ．
4.已知图d，D ABC是等边三角形，AF⊥AB，EF‖DC，AE=3.5cm，则AD= ．

二、证明题：
1.已知:如图a，AB⊥BD，DC⊥BD，O为AC中点，求证：OB=OD．
2.已知：如图b，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE‖AC，求证：E是BC的中点．
3.已知：如图c， ABCD中E、F分别为AB、DC中点，AF、EC交BD于M、N，求证：BM=MN=ND．
4.已知：如图d，四边形ABCD中AD=BC，M、N分别为AB、CD的中点MN所在直线与AD、BC的延长线交于P、Q，求证：∠APM=∠BQM．

【答案、提示】
一、 1. 5cm 2. 3cm 3. 3.5cm 4. 7cm．
二、 1.提示：延长DO与AB交于E，再作OF⊥BD垂足为F．
2.提示：延长AC、BD交于一点F，通过证D是BF的中点，求解．
3.略
4.提示：连结AC取AC中点E，连EM、EN．

收起

三角形中位线定理：三角形中位城平行于第三边，并且等于它的一半．
这个定理的证明方法很多，关键在于如何添加辅助线,当一个命题有多种证明方法时，要选用比较简捷的方法证明
（l）延长DE到F，使 ，连结CF，由 可得AD FC．
（2）延长DE到F，使 ，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得AD FC．
（3）过点C作 ，与DE延长线交于F，通过证 可得A...

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三角形中位线定理：三角形中位城平行于第三边，并且等于它的一半．
这个定理的证明方法很多，关键在于如何添加辅助线,当一个命题有多种证明方法时，要选用比较简捷的方法证明
（l）延长DE到F，使 ，连结CF，由 可得AD FC．
（2）延长DE到F，使 ，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得AD FC．
（3）过点C作 ，与DE延长线交于F，通过证 可得AD FC．
上面通过三种不同方法得出AD FC，再由 得BD FC，所以四边形DBCF是平行四边形，DF BC，又因DE ，所以DE .

收起

一个三角形任意两边的中点连线
三角形中位线定理：中位线等于所对边的一半并且平行于这条边
还有梯形的中位线
梯形的中位线就是两腰的中点连线
梯形中位线定理：中位线等于上底加下底的和的一半并且平行于上底和下底

三角形任意两边中点的连线