作业帮f(x),g(x）为增减性相同[a,b]上连续单调函数,证明积分不等式f(x),g(x）为增减性相同[a,b]上连续单调函数,证明(b-a)∫[a,b]f(x)*g(x)dx >= ∫[a,b]f(x)dx*∫[a,b]g(x)dx
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/17 00:36:31
f(x),g(x）为增减性相同[a,b]上连续单调函数,证明积分不等式f(x),g(x）为增减性相同[a,b]上连续单调函数,证明(b-a)∫[a,b]f(x)*g(x)dx >= ∫[a,b]f(x)dx*∫[a,b]g(x)dx
f(x),g(x）为增减性相同[a,b]上连续单调函数,证明积分不等式
f(x),g(x）为增减性相同[a,b]上连续单调函数,证明
(b-a)∫[a,b]f(x)*g(x)dx >= ∫[a,b]f(x)dx*∫[a,b]g(x)dx
f(x),g(x）为增减性相同[a,b]上连续单调函数,证明积分不等式f(x),g(x）为增减性相同[a,b]上连续单调函数,证明(b-a)∫[a,b]f(x)*g(x)dx >= ∫[a,b]f(x)dx*∫[a,b]g(x)dx
令F(x)=(x-a)∫{a,x}f(t)*g(t)dt-∫{a,x}f(t)dt*∫{a,x}g(t)dt,a≤x≤b
则F’(x)=∫{a,x}f(t)*g(t)dt+(x-a)*f(x)*g(x)-f(x)*∫{a,x}g(t)dt-g(x)*∫{a,x}f(t)dt
=∫{a,x}f(t)*g(t)dt+∫{a,x}f(x)*g(x)dt-∫{a,x}f(x)*g(t)dt-∫{a,x}g(x)*f(t)dt
=∫{a,x}[f(t)*g(t)+f(x)*g(x)- f(x)*g(t)-g(x)*f(t)]dt
=∫{a,x}{[f(t)-f(x)]*[g(t)-g(x)]}dt
∵f(x),g(x)单调且增减性相同,∴[f(t)-f(x)]*[g(t)-g(x)]≥0
故F’(x)≥0,进而F(b)≥F(a)=0
即(b-a)∫{a,b}f(t)*g(t)dt≥∫{a,b}f(t)dt*∫{a,b}g(t)dt