作业帮已知点A(―1,0),B(1,0)及抛物线y^2=2x ,若抛物线上点P满足向量|PA|=m|PB|,则m的最大值为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 09:52:09
已知点A(―1,0),B(1,0)及抛物线y^2=2x ,若抛物线上点P满足向量|PA|=m|PB|,则m的最大值为
已知点A(―1,0),B(1,0)及抛物线y^2=2x ,若抛物线上点P满足向量|PA|=m|PB|,则m的最大值为
已知点A(―1,0),B(1,0)及抛物线y^2=2x ,若抛物线上点P满足向量|PA|=m|PB|,则m的最大值为
【1】∵点P在抛物线y²=2x上,
∴可设其坐标为P(2a²,2a),(a∈R).
由两点间距离公式可得：
|PA|²=4a^4+8a²+1,
|PB|²=4a^4+1.
∴由题设可得：
m²=|PA|²/|PB|²=(4a^4+8a²+1)/(4a^4+1)
=1+[8a²/(4a^4+1)].
【2】由基本不等式可得：4a^4+1≥4a².等号仅当a²=1/4时取得.
∴8a²/(4a^4+1)≤2.
∴1+[8a²/(4a^4+1)]≤3.
即m²≤3.又m＞0.
∴0＜m≤√3.
∴(m)max=√3.
设P点(y^2/2,y)
|PA|^2=(y^2/2+1)^2+y^2
|PB|^2=(y^2/2-1)^2+y^2
|PA|^2=m^2|PB|^2 （m≥0）
(y^2/2+1)^2+y^2=m^2(y^2/2-1)^2+m^2y^2
(1-m^2)y^4+8y^2+4-4m^2=0
设y^2=p≥0
(1-m^2)p^2+8p+4-4m...
全部展开
设P点(y^2/2,y)
|PA|^2=(y^2/2+1)^2+y^2
|PB|^2=(y^2/2-1)^2+y^2
|PA|^2=m^2|PB|^2 （m≥0）
(y^2/2+1)^2+y^2=m^2(y^2/2-1)^2+m^2y^2
(1-m^2)y^4+8y^2+4-4m^2=0
设y^2=p≥0
(1-m^2)p^2+8p+4-4m^2=0
若要有解，则△≥0
64-4(1-m^2)(4-4m^2)≥0
(m^2-3)(m^2+1)≤0
m∈[-√3,√3]
由p≥0
p1+p2≥0，p1*p2≥0
得8/(m^2-1)≥0
m∈(-∞，-1]∪[1,+∞)
4m^2/(m^2-1)≥0
m∈(-∞，-1]∪[1,+∞)
交集为m∈[-√3，-1]∪[1,√3]
最大值为√3
收起
我算的是5的根号。