作业帮数学题——抛物线已知AB是抛物线y^2=2px(p>0)的焦点弦,F为抛物线焦点,点A(x1,y1),B(x2,y2).求证：(1)y1*y2=-p^2,x1*x2=(p^2)/4(2)以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 12:17:54
数学题——抛物线已知AB是抛物线y^2=2px(p>0)的焦点弦,F为抛物线焦点,点A(x1,y1),B(x2,y2).求证：(1)y1*y2=-p^2,x1*x2=(p^2)/4(2)以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切.
数学题——抛物线
已知AB是抛物线y^2=2px(p>0)的焦点弦,F为抛物线焦点,点A(x1,y1),B(x2,y2).
求证：(1)y1*y2=-p^2,x1*x2=(p^2)/4
(2)以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切.
数学题——抛物线已知AB是抛物线y^2=2px(p>0)的焦点弦,F为抛物线焦点,点A(x1,y1),B(x2,y2).求证：(1)y1*y2=-p^2,x1*x2=(p^2)/4(2)以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切.
(1)(y-y1)/(x-x1)=(y-y2)/(x-x2)
y1^2=2px1 y2^2=2px2 带入,得
y1/(p/2-y1^2/2p)=y2/(p/2-y2^2/2p)
化简,得 y1y2(y1-y2)=p^2(y2-y1)
y1y2不相等,则y1*y2=-p^2
带入抛物线方程中,得x1*x2=(p^2)/4
(2)直径d=根号下（x1-x2）^2+（y1-y2）^2
(x1+x2)^2-4x1x2+y1^2+y2^2-2y1y2
将(1)带入 (x1+x2)^2-p^2+2p(x1+x2)+2p^2
(x1+x2)^2+2p(x1+x2)+p^2
半径 r=(x1+x2+p)/2
圆心x=(x1+x2)/2
圆心与准线距离L=(x1+x2+p)/2=r
所以以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切
一①斜率存在时： 抛物线焦点坐标〔p/2,0〕设直线AB斜率为k 因为直线过焦点所以直线的方程为y＝k〔x-p/2〕与抛物线方程联立得y2-2yp/k-p2=0 根据根与系数关系 y1 y2 分别为方程的两根 所以y1y2=-p2
②讨论斜率不存在的时候
同理可证x1x2=〔 p2 〕/4
二焦点弦|AB|=X1+X2+P 所以圆的半径为|AB|/2 圆心...
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一①斜率存在时： 抛物线焦点坐标〔p/2,0〕设直线AB斜率为k 因为直线过焦点所以直线的方程为y＝k〔x-p/2〕与抛物线方程联立得y2-2yp/k-p2=0 根据根与系数关系 y1 y2 分别为方程的两根 所以y1y2=-p2
②讨论斜率不存在的时候
同理可证x1x2=〔 p2 〕/4
二焦点弦|AB|=X1+X2+P 所以圆的半径为|AB|/2 圆心是AB 中点坐标〔〔X1+X2〕/2 ,〔Y1+Y2 〕/2〕 可得圆的方程与准线方程联立 证明σ =0
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3逍遥飞雪3
的回答够仔细了
3逍遥飞雪3的回答够仔细了 ，但是没有像玉米955一样说明斜率不存在的情况，所以最开始的等式：
(y-y1)/(x-x1)=(y-y2)/(x-x2)
就存在问题