作业帮若对一切正整数ax^2+bx+c都是完全平方数,证明：a,b,c都是整数且c为完全平方数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 21:54:54
若对一切正整数ax^2+bx+c都是完全平方数,证明：a,b,c都是整数且c为完全平方数.
若对一切正整数ax^2+bx+c都是完全平方数,证明：a,b,c都是整数且c为完全平方数.
若对一切正整数ax^2+bx+c都是完全平方数,证明：a,b,c都是整数且c为完全平方数.
如果对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数（即整数的平方）,
证明：（1）2a,2b,c都是整数；
（2）a,b,c都是整数,并且c是平方数；
（3）反过来,如（2）成立,是否对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数?考点：完全平方数．专题：代数综合题．分析：（1）分别令x=0,x=1,x=-1然后代入二次三项式,可得出2a,2b,c都是整数．
（2）分别令令x=2,x=-2,代入二次三项式,然后利用奇偶性可分别得出结论．
（3）令x=1,a=1,b=1,c=1代入即可作出判断．证明：（1）∵对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数,
∴令x=0,a•02+b•0+c=c,
c是整数且是平方数,
令x=1,-1时a•12+b•1+c,a•（-1）2+b•（-1）+c是平方数,
∴可设a•12+b•1+c=m12①a•（-1）2+b•（-1）+c=n12
②c=k12（m1n1k1均为整数）,
①-②得：2b=m12-n12,
∴2b为整数（整数相减为依然为整数）,
由①得：2a=2m12-2b-2c,
∴2a为整数,
∴2a,2b,c都是整数；
（2）（1）中已证c是整数且是平方数,
令x=2,-2时,可设a•22+b•2+c=m22③a•（-2）2+b•（-2）+c=n22④c=k12（m2n2k1均为整数）,
③-④得：4b=m22-n22=（m2+n2）（m2-n2）=2（2b）,
∵2b为整数,
∴2（2b）为偶数,则m22-n22为偶数,
∴（m2+n2）,（m2-n2）同奇同偶,
则可设（m2+n2）=2m,（m2-n2）=2n（m,n均为整数）,
∴4b=2m•2n=4mn,
∴b=mn,
∴b为整数；
（3）令x=1,a=1,b=1,c=1,则ax2+bx+c=3,而3不是平方数．