作业帮圆锥曲线若△QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程已知抛物线C1:x²+by=b²经过椭圆C2:x²/a² + y²/b² =1 (a>b>0)的两个焦点(1)求椭圆C2的离心率 (2)设Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 19:51:55
圆锥曲线若△QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程已知抛物线C1:x²+by=b²经过椭圆C2:x²/a² + y²/b² =1 (a>b>0)的两个焦点(1)求椭圆C2的离心率 (2)设Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的
圆锥曲线若△QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程
已知抛物线C1:x²+by=b²经过椭圆C2:x²/a² + y²/b² =1 (a>b>0)的两个焦点(1)求椭圆C2的离心率 (2)设Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程
第一问求得e=根号2 /2 b=c
圆锥曲线若△QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程已知抛物线C1:x²+by=b²经过椭圆C2:x²/a² + y²/b² =1 (a>b>0)的两个焦点(1)求椭圆C2的离心率 (2)设Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的
(1) 椭圆 焦点为(-c,0),(c,0), c=√(a^2-b^2)
抛物线经过椭圆焦点,则 c^2=b^2 => b=c
由c=√(a^2-b^2)可得(c/a)^2=1/2 => e=c/a=1/√2
(2) 抛物线开口向下,与椭圆至少有两个交点
将x^2=b^2-by,a=√2c=√2b代入椭圆,
整理,得 2y^2-by-b^2=0
解得y1=b, y2=-b/2
代入抛物线,可解得y1=b时,x=0；y2=-b/2时,x1,2=±√6/2*b
M,N不在y轴上,则横坐标取值只能为x1,2=±√6/2*b,纵坐标为y2=-b/2
△QMN的重心为(x(G),y(G))=[(3+x(M)+x(N))/3,(b+y(M)+y(N))/3]
x(G)=(3+x1+x2)/3=(3+0)/3=1
y(G)=(b+y1+y2)/3=(b-b/2-b/2)/3=0
∴重心G=G(1,0)
将重心坐标代入抛物线,得
1+0=b^2 => b=1；∴a=√2b=√2
抛物线方程为C1：x^2+y=1
椭圆方程为C2：x^2/2+y^2=1
(1) 椭圆的两个焦点为F1(√(a² - b²), 0), F2(√-(a² - b²), 0)
将前者代入抛物线: a² - b² + b*0 = b², a² = 2b²
b² = a²/2
e = √(a² - b²)/a = √(a&#...
全部展开
(1) 椭圆的两个焦点为F1(√(a² - b²), 0), F2(√-(a² - b²), 0)
将前者代入抛物线: a² - b² + b*0 = b², a² = 2b²
b² = a²/2
e = √(a² - b²)/a = √(a² - a²/2)/a = √2/2
(2) x²/a² + y²/b² =1
a² = 2b²
x²/2b² + y²/b² =1 (i)
x²+by=b²
y = (b²-x²)/b (ii)
(ii)代入(i): x = ±√6b/2
y = -b/2
M(-√6b/2, -b/2), N(√6b/2, -b/2)
MN的中点A(0, -b/2)
QA的方程: (y + b/2)/(x - 0) = (b + b/2)/(3 - 0)
y = b(x-1)/2 (iii)
NQ的中点B(3/2 +√6b/4, b/4)
MB的方程: (y + b/2)/(x + √6b/2) = (b/4 + b/2)/(3/2 +√6b/4 +√6b/2)
y = b(x + √6b/2)/(2 +√6b/2) - b/2 (iv)
联立(iii)(iv), △QMN的重心: R(1, 0)
将R的坐标代入抛物线: 1 + b*0 = b², b = 1
C1: x² + y = 1
a² = 2b² = 2
C2: x²/2 + y² =1
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