作业帮2010年西交大少年班考试压轴题 是否存在这样的直角三角形,他的两直角边均为自然数,且斜边长等于√2009?如果有,请求出其边长,如果没有,请证明要详细步骤,步骤完整的追加.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 01:55:46
2010年西交大少年班考试压轴题 是否存在这样的直角三角形,他的两直角边均为自然数,且斜边长等于√2009?如果有,请求出其边长,如果没有,请证明要详细步骤,步骤完整的追加.
2010年西交大少年班考试压轴题
是否存在这样的直角三角形,他的两直角边均为自然数,且斜边长等于√2009?如果有,请求出其边长,如果没有,请证明
要详细步骤,步骤完整的追加.
2010年西交大少年班考试压轴题 是否存在这样的直角三角形,他的两直角边均为自然数,且斜边长等于√2009?如果有,请求出其边长,如果没有,请证明要详细步骤,步骤完整的追加.
这不就寻找
a^2+b^2=2009的整数解吗,2009根号不过45不到,用穷举法也能证明了吧.(下面基本思路还是穷举法,只不过通过余数分析,缩小下需要穷举的范围）
假设存在
一个完全平方术被3除只能余0(3n)和1(3n+/-1),2009被3除于2（如果一个数被3整除但不能被9整除,铁定不可能写成两个完全平房数之和）,因此a,b都不能被3整除.
同理一个完全平方数被8除于0（4n),1(4n+/-1),4（4n+2),2009被8除余1（同理一个被8除余3,7,6的数不可能分成两完全平方数之和）,因此a,b中必有一个为4的倍数,比如说a.
这样只要验证a=4,8,16,20,28,32,40,44的情况就行了吧.然后一个完全平方数末尾不可能是3和7,那a^2末尾不可能是6,那就只剩a=8,20,28,32,40需要验证了,最后28^2+35^2=2009
-------------------------后之后觉的分割线---------------------------------------------------------------
2009=41*49
41=4^2+5^2
(4*7)^2+(5*7)^2=2009
之后利用一个完全平方数被7除余0,1,2,4的性质,同上可证明这个解是唯一的.