作业帮整除,取余1.假设a和b都不被3和7整除,证明a^6=b^6(mod21)2.找出方程x^3=17(mod99)的所有解3.方程组x=a(mod m),y=b(mod n).证明如果gcd(m,n)|(a-b),那么这个方程组有一个唯一解整除mn/(gcd(m,n))4.求5x^2+x-7y+6=0的所
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 05:36:14
整除,取余1.假设a和b都不被3和7整除,证明a^6=b^6(mod21)2.找出方程x^3=17(mod99)的所有解3.方程组x=a(mod m),y=b(mod n).证明如果gcd(m,n)|(a-b),那么这个方程组有一个唯一解整除mn/(gcd(m,n))4.求5x^2+x-7y+6=0的所
整除,取余
1.假设a和b都不被3和7整除,证明a^6=b^6(mod21)
2.找出方程x^3=17(mod99)的所有解
3.方程组x=a(mod m),y=b(mod n).证明如果gcd(m,n)|(a-b),那么这个方程组有一个唯一解整除mn/(gcd(m,n))
4.求5x^2+x-7y+6=0的所有整数解
gcd就是最大公约数great common divisor.
那个整除似乎是mod的意思。
整除,取余1.假设a和b都不被3和7整除,证明a^6=b^6(mod21)2.找出方程x^3=17(mod99)的所有解3.方程组x=a(mod m),y=b(mod n).证明如果gcd(m,n)|(a-b),那么这个方程组有一个唯一解整除mn/(gcd(m,n))4.求5x^2+x-7y+6=0的所
1.
a^2=1(mod3)推出a^6=1(mod 3)
同理a^6=1(mod 7)
gcd(3,7)=1可以知道a^6=1(mod 21)
同理b^6=1(mod 21)
所以a^6=b^6=1(mod 21)
2.
99=11*3*3
取任意2个和另外一个的组合.只有11和9是互质的.所以
x^3=17(mod 11) 和 x^3=17(mod 9)
就是一个congruence system.自己解吧
3.(你题目写错了.两个方程都是关于x的)
x=a(mod m)知道x=ym+a其中y是一个整数
带入x=b(mod n)即ym+a=nz+b,其中z是一个整数
得到nz-my=a-b
congruence关于方程的定理（我也不知道中文怎么讲.你维基百科搜索一下）
只要gcd(m,n)|(m,n),则有一个唯一解x=x0（mod mn/gcd（m,n））
4.
就是5x^2+x+6|7.EEA可以解出来.
上面的方法也都ok.
1．a和b都不被3和7整除，故a和b均与素数3和7互素，故由Fermat定理可知
a^2=1(mod3), b^2=1(mod3)，a^6=1(mod3), b^6=1(mod3)
a^6=1(mod7),b^6=1(mod7),
故得a^6=b^6(mod3)，a^6=b^6(mod7),又3和7互素,故得a^6=b^6(mod21)。
2. 99=9*1...
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1．a和b都不被3和7整除，故a和b均与素数3和7互素，故由Fermat定理可知
a^2=1(mod3), b^2=1(mod3)，a^6=1(mod3), b^6=1(mod3)
a^6=1(mod7),b^6=1(mod7),
故得a^6=b^6(mod3)，a^6=b^6(mod7),又3和7互素,故得a^6=b^6(mod21)。
2. 99=9*11
求解同余式x^3=17=-1(mod9),得x=-1=8(mod9)
求解同余式x^3=17=-5(mod11),得x=-3=8(mod11)
9与11互素得x=8(mod99), 方程x^3=17(mod99)的所有解为x=99k+8,其中k为整数。
4. 方程5x^2+x-7y+6=0化为2次同余式5x^2+x+6=0(mod7)。
求解该同余式得
-2x^2+x-1=0(mod7)，2x^2-x+1=0(mod7)，由判别式(-1)^2-8=0(mod7), 该同余式有唯一的解，解得x=2(mod7),即x=7k+2,其中k为整数。
3题不明确,方程组有一个唯一解整除?mn/(gcd(m,n))是什么意思?是否是它有解是mn/(gcd(m,n))?
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1,由于a,b都不能被3,7整除,就说明,a,b的因子里都没有3和7
如果我们取2为例子,2^6=1(mod 21)
所以我们只要证明x^6-1能被21整除就可以,换句话就是,x^6-1的因子里有3和7!当然,此处x和a,b都是因子里没有3,7的数!
x^6-1=(x^3)^2-1=(x^3-1)(x^3+1)
=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^...
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1,由于a,b都不能被3,7整除,就说明,a,b的因子里都没有3和7
如果我们取2为例子,2^6=1(mod 21)
所以我们只要证明x^6-1能被21整除就可以,换句话就是,x^6-1的因子里有3和7!当然,此处x和a,b都是因子里没有3,7的数!
x^6-1=(x^3)^2-1=(x^3-1)(x^3+1)
=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)
=(x-1)[x(x+1)+1](x+1)[x(x-1)+1]
首先来讨论上式中一定有因子3,x不能被3整除,则x除以3的余数只能是1或2
由于x-1和x+1的存在,所以保证其中的一个能被3整除!
再来讨论一定有因子7,当x除以7的余数为1或6的时候,同上,也有一个能被7整除,当x除以7的余数为2,3,4,5的时候
当为2,4的时候x(x+1)+1能被7整除
小证明
x=2(mod 7): x(x+1)+1=2*3+1=7=0(mod 7)
x=4(mod 7): x(x+1)+1=4*5+1=21=0(mod 7)
当为3,5的时候x(x-1)+1能被7整除,证明同上!
所以能确定x^6-1的因子有3和7,所以,x^6除以21的余数为1,只要x不能被3和7整除!
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1.楼下方法是对的，不过有点繁琐。
这道题实际的意思就是证明a不被3或7整除的话，那么a^6=1(mod21)。事实上，a不被3整除即与3互质，有费马小定理,a^2=1(mod3)，因此a^6=1(mod3)。同理，a^6=1(mod7)，因此a^6=1(mod21)。
2.等价于x^3=6(mod11)，x^3=8(mod9)。
11是质数，因此存在唯一解x=8(mod1...
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1.楼下方法是对的，不过有点繁琐。
这道题实际的意思就是证明a不被3或7整除的话，那么a^6=1(mod21)。事实上，a不被3整除即与3互质，有费马小定理,a^2=1(mod3)，因此a^6=1(mod3)。同理，a^6=1(mod7)，因此a^6=1(mod21)。
2.等价于x^3=6(mod11)，x^3=8(mod9)。
11是质数，因此存在唯一解x=8(mod11)。另外x^3=8(mod)有三组2，5和8。因此所对应的x有三种：
x=74(mod99),x=41(mod99),x=8(mod99)
3.没看懂。方程组有x和y，哪个整除mn/(gcd(m,n))？还有gcd是最大公约数吗？
4.对于xmod7讨论。因为5x^2+x=1(mod7),所以x=2(mod7)。设x=7a+2，a为整数，那么35a^2+21a+4=y。
因此所有整数解即为a取所有整数时对应的(x,y)。
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1.楼下方法是对的，不过有点繁琐。
1,由于a,b都不能被3,7整除,就说明,a,b的因子里都没有3和7
如果我们取2为例子,2^6=1(mod 21)
所以我们只要证明x^6-1能被21整除就可以,换句话就是,x^6-1的因子里有3和7!当然,此处x和a,b都是因子里没有3,7的数!
x^6-1=(x^3)^2-1=(x^3-1)(x^3+1)
=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+...
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1,由于a,b都不能被3,7整除,就说明,a,b的因子里都没有3和7
如果我们取2为例子,2^6=1(mod 21)
所以我们只要证明x^6-1能被21整除就可以,换句话就是,x^6-1的因子里有3和7!当然,此处x和a,b都是因子里没有3,7的数!
x^6-1=(x^3)^2-1=(x^3-1)(x^3+1)
=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)
=(x-1)[x(x+1)+1](x+1)[x(x-1)+1]
首先来讨论上式中一定有因子3,x不能被3整除,则x除以3的余数只能是1或2
由于x-1和x+1的存在,所以保证其中的一个能被3整除!
再来讨论一定有因子7,当x除以7的余数为1或6的时候,同上,也有一个能被7整除,当x除以7的余数为2,3,4,5的时候
当为2,4的时候x(x+1)+1能被7整除
小证明
x=2(mod 7): x(x+1)+1=2*3+1=7=0(mod 7)
x=4(mod 7): x(x+1)+1=4*5+1=21=0(mod 7)
当为3,5的时候x(x-1)+1能被7整除,证明同上!
所以能确定x^6-1的因子有3和7,所以,x^6除以21的余数为1,只要x不能被3和7整除!
其他的暂时没有思路还
ps,用费马定理证明起来的确简单,但是我之前不知道什么是费马的定理~~
2,我是从先得到一个最小的x,为8!8^3=17(mod 99)
假设下一个符合条件的数为8+k
则
(8+k)^3=k^3+3*k^2*8+3*k*8^2+8^3
得到k^3+3*k^2*8+3*k*8^2 必须能被99整除,则只要k含有3和11的因子就可以.
所以符合条件的整数为33n+8!n为非负整数
ps,总感觉这个证明不是很严密,但是结论经得起考验^_^
3,也是没有看懂!gcd不是咱们国家的执政党的缩写吗^_^
4,可以变为5x^2+x+6=7y,也就是5x^2+x+6能被7整除
得到5x^2+x=1(mod 7)
如果x=1 (mod 7),则5x^2+x=5+1=6 (mod 7)
如果x=2 (mod 7),则5x^2+x=20+2=1 (mod 7)
如果x=3 (mod 7),则5x^2+x=5*(9)+1=5*(2)+3=6 (mod 7)
如果x=4 (mod 7),则5x^2+x=5*(16)+1=5*(2)+4=0 (mod 7)
如果x=5 (mod 7),则5x^2+x=5*(25)+1=5*(4)+5=25=4 (mod 7)
如果x=6 (mod 7),则5x^2+x=5*(36)+1=5*(1)+6=4 (mod 7)
所以符合条件的x为7n+4,n为整数!
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