证明：（高等数学）利用条件极值推导三维空间中点到平面的距离公式

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 22:41:22

证明：（高等数学）利用条件极值推导三维空间中点到平面的距离公式
证明：（高等数学）利用条件极值推导三维空间中点到平面的距离公式

证明：（高等数学）利用条件极值推导三维空间中点到平面的距离公式
设平面Ax+By+Cz+D=0上一点P(x,y,z),及平面外一点M（x0,y0,zo),
设f(x,y,z)=(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-zo)^2+λ(Ax+By+Cz+D)
fx=2(x-x0+λA=0,
fy=2(y-y0)+λB=0,
fz=2(z-z0)+λC=0,
由以上得,
(x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C=k,
x=x0+kA,y=y0+kB,z=z0+kC,
A(x0+kA)+B(y0+kB)+C(z0+kC)+D=0,
Ax0+By0+Cz0+D+(A^2+B^2+C^2)k=0
k=-(Ax0+By0+Cz0+D)/(A^2+B^2+C^2)
所以,
sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2)=
sqrt(k^2*(A^2+B^2+C^2))=
sqrt( (Ax0+By0+Cz0+D)^2/(A^2+B^2+C^2))=
|Ax0+By0+Cz0+D|/sqrt(A^2+B^2+C^2),
即(x0,y0,zo)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为
|Ax0+By0+Cz0+D|/sqrt(A^2+B^2+C^2

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