当x∈(0,2]时,函数f(x)=ax^2+4(a+1)x-3在x=2时取得最大值当x∈(0,2]时,函数f(x)=ax^2+4(a+1)x-3在x=2时取得最大值,则a的取值范围是?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 16:03:17

当x∈(0,2]时,函数f(x)=ax^2+4(a+1)x-3在x=2时取得最大值当x∈(0,2]时,函数f(x)=ax^2+4(a+1)x-3在x=2时取得最大值,则a的取值范围是?
当x∈(0,2]时,函数f(x)=ax^2+4(a+1)x-3在x=2时取得最大值
当x∈(0,2]时,
函数f(x)=ax^2+4(a+1)x-3在x=2时取得最大值,
则a的取值范围是?

当x∈(0,2]时,函数f(x)=ax^2+4(a+1)x-3在x=2时取得最大值当x∈(0,2]时,函数f(x)=ax^2+4(a+1)x-3在x=2时取得最大值,则a的取值范围是?
若
a=0,
f(x)=4x-3单调递增,的确在x=2取得最大值
若
a>0
抛物线开口向上,取得最大值只能在区间边缘取到,
已知区间（0,2],0不可取,只能取2；
所以要满足
f(0)<=f(2)
=>
-3<=12a+5
=>
a>=-3/2
而a已经大于0,必然满足
若
a<0
有两种情况；
1.
在抛物线尖嘴处取得最大值
2 = -2(a+1)/a
=>
a=-1/2
2.
(0,2]在抛物线的单调递增区间内,这时在2处取得最大值
2 <= -2(a+1)/a
a>=-1/2
综上,
只需
a>=-1/2即可

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分a>0和a<0讨论,根据对称轴.

若a=0，则f(x)=4x-3,向上倾斜，所以x=2时有最大值，成立
若a不等于0，则f(x)是二次函数
f(x)=a[x+2(a+1)/a]^2-4(a+1)^2/a-3
对称轴x=-2(a+1)/a
若a>0,则开口向上，
在在对称轴右边是增函数
所以对称轴在x<=0左边，则整个(0,2]都是增函数，x=2是最大值，成立
若对称轴在(0,...

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若a=0，则f(x)=4x-3,向上倾斜，所以x=2时有最大值，成立
若a不等于0，则f(x)是二次函数
f(x)=a[x+2(a+1)/a]^2-4(a+1)^2/a-3
对称轴x=-2(a+1)/a
若a>0,则开口向上，
在在对称轴右边是增函数
所以对称轴在x<=0左边，则整个(0,2]都是增函数，x=2是最大值，成立
若对称轴在(0,2]区间内
则对称轴离0近，则f(2)>f(0),若对称轴离2近，则f(0)>f(2)
所以当对称轴离0近时，x=2是最大值
所以对称轴要在0和2的中点的左侧
所以0<-2(a+1)/a<=1
加起来就是-2(a+1)/a<=1
因为a>0
所以-2(a+1)<=a
a>=-2/3
所以a>0
若a<0
则x=-2(a+1)/a时，f(x)有最大值
所以对称轴不在(0,2)区间内
且x=2有最大值说明在(0,2]内f(x)是增函数
所以对称轴应在区间右侧
所以-2(a+1)/a>=2
a<0
所以-2a-2<=2a
a>=-1/2
所以-1/2<=a<0
综上，a>=-1/2

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当a>=0时，f当x∈(0,2]时是关于x的增函数，所以当然在x=2时取得最大值。
这说明a>=0是可以的
当a<0时，f代表开口向下的抛物线。那么
若对称轴在x=0的左边，那么f在x=2时取得最小值
若对称轴在x=0,x=2之间，那么f在抛物线顶点取得最大值，而不是x=2这一点
若对称轴在x=2的右边，那么确实f在x=2时取得最大值
所以,应该有-...

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当a>=0时，f当x∈(0,2]时是关于x的增函数，所以当然在x=2时取得最大值。
这说明a>=0是可以的
当a<0时，f代表开口向下的抛物线。那么
若对称轴在x=0的左边，那么f在x=2时取得最小值
若对称轴在x=0,x=2之间，那么f在抛物线顶点取得最大值，而不是x=2这一点
若对称轴在x=2的右边，那么确实f在x=2时取得最大值
所以,应该有-2(a+1)/a>=2，解得0>a>=-1/2
综上得到，a的取值范围是a>=-1/2

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