作业帮1-x 除以 1+（x的平方） 的不定积分怎么求?如果分成 1+（x的平方） 分之 一 和 1+（x的平方）分之 -x 又怎么算
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 15:45:48
1-x 除以 1+（x的平方） 的不定积分怎么求?如果分成 1+（x的平方） 分之 一 和 1+（x的平方）分之 -x 又怎么算
1-x 除以 1+（x的平方） 的不定积分怎么求?
如果分成 1+（x的平方） 分之 一 和 1+（x的平方）分之 -x 又怎么算
1-x 除以 1+（x的平方） 的不定积分怎么求?如果分成 1+（x的平方） 分之 一 和 1+（x的平方）分之 -x 又怎么算
(1 - x)/(1 + x²)
= 1/(1 + x²) - x/(1 + x²)
∫ (1 - x)/(1 + x²) dx
= ∫ 1/(1 + x²) - x/(1 + x²) dx
根据方程式,
d/dx arc tan x = 1/(1 + x²)
arc tan x = ∫ 1/(1 + x²) dx
所以,
= ∫ 1/(1 + x²) - x/(1 + x²) dx
= arc tan x - (1/2)ln (1 + x²) + c,c为任何值.
或则,
让 x = tan θ,
dx = sec² θ dθ,
∫ 1/(1 + x²) dx - ∫ x/(1 + x²) dx
= ∫ 1/(1 + tan² θ)(sec² θ) dθ - (1/2)ln (1 + x²) + c
根据三角法则,
1 + tan² θ = sec² θ
所以,
= ∫ 1/(1 + tan² θ)(sec² θ) dθ - (1/2)ln (1 + x²) + c
= ∫ (sec² θ)/(sec² θ) dθ - (1/2)ln (1 + x²) + c
= ∫ dθ - (1/2)ln (1 + x²) + c
= θ - (1/2)ln (1 + x²) + c
= arc tan x - (1/2)ln (1 + x²) + c,c为任何值.