作业帮如图正方体ABCD-A1B1C1D1,点E是AB中点若F在AA1上运动时（F与A,A1不重合）,求当平面D1EF与平面ADE成π/4的角时,线段A1F与FA的比（重点在于画出辅导线）详细过程和图解!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 05:01:46
如图正方体ABCD-A1B1C1D1,点E是AB中点若F在AA1上运动时（F与A,A1不重合）,求当平面D1EF与平面ADE成π/4的角时,线段A1F与FA的比（重点在于画出辅导线）详细过程和图解!
如图正方体ABCD-A1B1C1D1,点E是AB中点
若F在AA1上运动时（F与A,A1不重合）,求当平面D1EF与平面ADE成π/4的角时,线段A1F与FA的比（重点在于画出辅导线）详细过程和图解!
如图正方体ABCD-A1B1C1D1,点E是AB中点若F在AA1上运动时（F与A,A1不重合）,求当平面D1EF与平面ADE成π/4的角时,线段A1F与FA的比（重点在于画出辅导线）详细过程和图解!
答：取AD的四等分点G,使得AG=AD/4=AB/4=AE/2=a,正方体边长为4a
过点G作GH//A1A交A1D1于点H
连接GE、FD1,令GH交FD1于点M
RT△GAE中：tan∠AEG=AG/AE=1/2
RT△EBC中：tan∠BCE=BE/BC=1/2=tan∠AEG
所以：∠BCE=∠AEG=90°-∠BEC
所以：∠AEG+∠BEC=90°
所以：∠GEC=90°
所以：CE⊥GE……………………（1）
正方体中AA1⊥平面ABCD
所以：AA1⊥CE
因为：GH//AA1
所以：GH⊥CE……………………（2）
由（1）和（2）知道：CE⊥平面MGE
因为：CE是平面D1FE和平面ADE的相交线
所以：∠GEM是二面角FMC-ACE的平面角
所以：∠GEM=π/4=45°
所以：RT△EGM是等腰直角三角形
所以：GM=GE=√(a^2+4a^2)=√5a
所以：HM=4a-√5a
因为：HM//A1A
所以：D1H/A1D1=HM/A1F
所以：3a/(4a)=(4a-√5a)/A1F
A1F=4(4-√5)a/3=(4-√5)A1A/3
A1F/A1A=(4-√5)/3
所以：
A1F/FA=(4-√5)/(√5-1)=(3√5-1)/4
所以：线段A1F与FA的比为(3√5-1)/4