一个等腰三角形的腰为a,底为b（a大于b）,另一个等腰三角形的腰为b,底为a,若这两个等腰三角形的顶角互补,求a的平方加b的平方和除以a的平方减b的平方差

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 18:41:13

一个等腰三角形的腰为a,底为b（a大于b）,另一个等腰三角形的腰为b,底为a,若这两个等腰三角形的顶角互补,求a的平方加b的平方和除以a的平方减b的平方差
一个等腰三角形的腰为a,底为b（a大于b）,另一个等腰三角形的腰为b,底为a,若这两个等腰三角形的顶角互补,
求a的平方加b的平方和除以a的平方减b的平方差

一个等腰三角形的腰为a,底为b（a大于b）,另一个等腰三角形的腰为b,底为a,若这两个等腰三角形的顶角互补,求a的平方加b的平方和除以a的平方减b的平方差
设一个等腰三角形的顶角为α,那么另一个等腰三角形的顶角是（180º-α）
因为a>b,所以,α是锐角,cosα>0
根据余弦定理
b²=2a²-2a²cosα
a²=2b²-2b²cod(180º-α)=2b²+2b²cosα
两式相加,得
a²+b²=2b²+2a²+2b²cosα-2a²cosα
a²+b²=2(a²-b²)cosα
(a²+b²)/(a²-b²)=2cosα

设两等腰三角形顶角分别为 α 和 180º- α
过顶点作底边的垂线, 可知垂线平分顶角, 可知
sin (α/2) = (b/2) / a = b/(2a)
sin [(180º-α)/2] = (a/2) / b
即 sin (90º-α/2) = cos(α/2) = a/(2b)
因为 sin²(α/2) + ...

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设两等腰三角形顶角分别为 α 和 180º- α
过顶点作底边的垂线, 可知垂线平分顶角, 可知
sin (α/2) = (b/2) / a = b/(2a)
sin [(180º-α)/2] = (a/2) / b
即 sin (90º-α/2) = cos(α/2) = a/(2b)
因为 sin²(α/2) + cos²(α/2) = 1
可得, b²/(4a²) + a²/(4b²) = 1
化简得, (a²)² + (b²)² - 4a²b² = 0
因此,
(a² + b²)² = 6a²b²
(a² - b²)² = 2a²b²
[(a² + b²)/(a² - b²)]² = 3
即 (a² + b²)/(a² - b²) = √3

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