在实数里只有代数数和超越数,那我想问的是,在[1,10]区间内,代数数多,还是超越数多,要证明.

在实数里只有代数数和超越数,那我想问的是,在[1,10]区间内,代数数多,还是超越数多,要证明.
在实数里只有代数数和超越数,那我想问的是,在[1,10]区间内,代数数多,还是超越数多,要证明.

在实数里只有代数数和超越数,那我想问的是,在[1,10]区间内,代数数多,还是超越数多,要证明.
超越数多.理解这个结论需要有一点集合基数的知识.
下面证明代数数只有可数个.一旦证毕,利用熟知的事实“实数不可数”,就可以推出超越数多.
1.整系数多项式全体是可数的.
任一整系数多项式,定义它的“高度”为各项系数绝对值之和.显然高度为自然数,而且任一自然数n,高度为n的整系数多项式只有有限个,当然可数.可数个可数集的并仍然可数,故整系数多项式全体是可数的.
2.代数数只有可数个.
代数数是某整系数方程的零点.对任意一个整系数方程,其零点有限（代数学基本定理）,当然可数.可数个可数集的并仍然可数,而1中已证整系数多项式全体是可数的,所以代数数只有可数个.