傅里叶级数与狄利克雷定理的关系为什么将函数展开为傅里叶级数时,一定要判断它是否收敛呢?跟和函数又有什么关系呢?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 08:31:03

傅里叶级数与狄利克雷定理的关系为什么将函数展开为傅里叶级数时,一定要判断它是否收敛呢?跟和函数又有什么关系呢?
傅里叶级数与狄利克雷定理的关系
为什么将函数展开为傅里叶级数时,一定要判断它是否收敛呢?跟和函数又有什么关系呢?

傅里叶级数与狄利克雷定理的关系为什么将函数展开为傅里叶级数时,一定要判断它是否收敛呢?跟和函数又有什么关系呢?
这里涉及两个函数
(1)事先给定一个函数f(x)
(2)根据f(x)构造一个Fourier级数,这是一个形式上的无穷项的和,和函数F(x)不一定存在.所以要判断它是否收敛.如果不收敛,f(x)与F(x)就毫无关系.
(3)如果判断出Fourier级数收敛,其和函数为F(x),而F(x)也不一定是f(x)
(4)Dirichlet定理指出,满足收敛定理2条件时,和函数F(x)恰等于f(x)在点x处左右极限的平均值.
用一个生活中的例子来阐明这过程：
（1）事先给您一只动物（如小兔）的旧衣服,小兔的旧衣服就是f(x)
（2）您根据小兔的旧衣服为它做一件新衣服,新衣服就是F(x),但是衣服F(x)未必能穿（未必收敛）
（3）即使能穿（收敛）,新旧衣服也不一定大小完全一样(f与F未必相同）
（4）如果满足一定条件,新衣服F(x)在某些地方（f(x)连续点）与旧衣服f(x)完全相同.新衣服F(x)在某些地方（f(x)的不连续点,像衣服的破洞）与旧衣服f(x)是不相同的.

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