作业帮I是三角形ABC的内心,IA=l,IB=m,IC=n,求证al2+bm2+cn2=abcI是三角形ABC的内心,IA=L,IB=m,IC=n,求证aL²+bm²+cn²=abc
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 19:10:00
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用面积法做
不知道
内切圆半径r=S/p=√((p-a)(p-b)(p-c)/p) p=(a+b+c)/2 l²=r²+AF²=S²/p²+(p-a)² al²=aS²/p²+a(p-a)²，bm²=bS²/p²+b(p-b)²，cn²=cS²/p²+c(p-c)² al²+bm²+cn²=aS²/p²+a(p-a)²+bS²/p²+b(p-b)²+cS²/p²+c(p-c)² =(a+b+c)S²/p²+a(p-a)²+b(p-b)²+c(p-c)² =2S²/p+a(p-a)²+b(p-b)²+c(p-c)² =2(p-a)(p-b)(p-c)+a(p-a)²+b(p-b)²+c(p-c)² =2(p²-ap-bp+ab)(p-c)+a(p-a)²+b(p-b)²+c(p-c)² =2p3-2ap²-2bp²+2abp-2cp²+2acp+2bcp-2abc+ap²-2a²p+a3+bp²-2b²p+b3+cp²-2c²p+c3 =2p3-ap²-bp²+2abp-cp²+2acp+2bcp-2abc-2a²p+a3-2b²p+b3-2c²p+c3 =2abp+2acp+2bcp-2abc-2a²p+a3-2b²p+b3-2c²p+c3 =(2ab+2ac+2bc-2a²-2b²-2c²)p-2abc+a3+b3+c3 =(ab+ac+bc-a²-b²-c²)(a+b+c)-2abc+a3+b3+c3 =a²b+a²c+abc-ab²-c²a+ab²+abc+b²c-a²b-c²b+abc+ac²+bc²-a²c-b²c-2abc =abc