作业帮水以20m^3/min的速度流入一圆锥形容器,设容器深30m,上底直径为12m,试求当水深10m时,水面上升的速度
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 16:50:04
水以20m^3/min的速度流入一圆锥形容器,设容器深30m,上底直径为12m,试求当水深10m时,水面上升的速度
水以20m^3/min的速度流入一圆锥形容器,设容器深30m,上底直径为12m,试求当水深10m时,水面上升的速度
水以20m^3/min的速度流入一圆锥形容器,设容器深30m,上底直径为12m,试求当水深10m时,水面上升的速度
已知：U＝20立方米 / 分钟＝（1 / 3）立方米 / 秒 ,H＝30米,D＝12米,h＝10米
求：V
从题意知,圆锥形容器的上底面是水平的（否则就缺少条件了）.
设容器中原来无水,经时间 t ,注入容器的水的水面离圆锥的顶点（最低点）高度是 y ,
那么 U * t ＝S* y / 3 ,S是此时水面的面积
由相似三角形知识 得 水面直径是 d＝D y / H
所以 S＝π* ( d / 2 )^2
即 U * t ＝π* ( d / 2 )^2 * y / 3＝π * D^2 * y^3 / ( 12*H^2 )
得 y^3＝[ 12 U *H^2 / (π* D^2 )] * t －－－－方程1
即 y ＝[ 12 U *H^2 / (π* D^2 )]^(1/3) * t^(1/3)
显然,水面的高度 y 对注入水的时间 t 的导数,就等于水面上升的速度
即水面上升的速度是 V＝dy / dt ＝ [12 U*H^2 / (π* D^2 )^(1/3) * (1/3)* t^(-2/3)
即 V＝[4 U*H^2 / (π* D^2 )^(1/3) * t^(-2/3) －－－方程2
当水深 y＝h＝10米时,注入水的时间是
t＝h^3 / [ 12 U *H^2 / (π* D^2 )] （由方程1得到）
所以此时水面上升速度是 V＝[4 U*H^2 / (π* D^2 )^(1/3) * { h^3 / [ 12 U *H^2 / (π* D^2 )] }^(-2/3)
＝(576)^(1/3) * U * H^2 / ( π* D^2* h^2 )
＝(576)^(1/3) * （1 / 3） * 30^2 / ( 3.14 * 12^2* 10^2 )
＝0.0552 米 / 秒
注：各量的单位统一用国际单位制的单位.