1.若a,b,x,y∈R+,且a+b=1,求证：（ax+by)(ay+bx)≥xy2.已知a,b,c都是正数,求证：a³+b³+c³≥3abc

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 20:18:07

1.若a,b,x,y∈R+,且a+b=1,求证：（ax+by)(ay+bx)≥xy2.已知a,b,c都是正数,求证：a³+b³+c³≥3abc
1.若a,b,x,y∈R+,且a+b=1,求证：（ax+by)(ay+bx)
≥xy
2.已知a,b,c都是正数,求证：a³
+b³
+c³
≥3abc

1.若a,b,x,y∈R+,且a+b=1,求证：（ax+by)(ay+bx)≥xy2.已知a,b,c都是正数,求证：a³+b³+c³≥3abc
1、答：
a+b=1
(a+b)²=1
a²+2ab+b²=1
a²+b²=1-2ab
(ax+by)(ay+bx)
=a²xy+abx²+aby²+b²xy
=ab(x²+y²)+(a²+b²)xy
=ab(x²+y²)+(1-2ab)xy
=ab(x²+y²)-2abxy+xy
=ab(x²-2xy+y²)+xy
=ab(x-y)²+xy
∵a、b∈R+,即ab＞0,且(x-y)²≥0
∴ab(x-y)²≥0,即ab(x-y)²+xy≥xy
∴(ax+by)(ay+bx)≥xy
2、答：
证明：a^3+b^3+c^3
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b)
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)+3abc
=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+b)-3ab]+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ac-3bc-3ab)+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)+3abc
=0.5(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)+3abc
=0.5(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]+3abc≥3abc
显然当且仅当a=b=c时等号成立.

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第一个问题：
∵（ax＋by）（ay＋bx）
＝a^2xy＋abx^2＋aby^2＋b^2xy＝（a^2＋b^2）xy＋ab（x^2＋y^2）
≧［（a＋b）^2－2ab］xy＋ab（2xy）＝（1－2ab）xy＋2abxy＝xy。
∴（ax＋by）（ay＋bx）≧xy。

第二个问题：
∵（a^3＋b^3）－（a^2b＋ab^2）
＝（a^3－a^2b）－（ab^2－b^3）＝a^2（a－b）－b^2（a－b）＝（a－b）（a^2－b^2）
＝（a－b）^2（a＋b）≧0，
∴a^3＋b^3≧a^2b＋ab^2。

运用这个结论，就有：a^3＋c^3≧a^2c＋ac^2、b^3＋c^3≧b^2c＋bc^2。
∴2（a^3＋b^3＋c^3）
＝（a^3＋b^3）＋（a^3＋c^3）＋（b^3＋c^3）
≧（a^2b＋ab^2）＋（a^2c＋ac^2）＋（b^2c＋bc^2）
＝（a^2b＋bc^2）＋（ab^2＋ac^2）＋（a^c＋b^2）
＝b（a^2＋c^2）＋a（b^2＋c^2）＋c（a^2＋b^2）
≧b（2ac）＋a（2bc）＋c（2ab）
＝6abc，
∴a^3＋b^3＋c^3≧3abc。

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1。∵x²+y²≥2xy.
∴（ax+by）（ay+bx）
=a²xy+abx²+aby²+b²xy

=(a²+b²)xy+ab(x²+y²)
...

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1。∵x²+y²≥2xy.
∴（ax+by）（ay+bx）
=a²xy+abx²+aby²+b²xy

=(a²+b²)xy+ab(x²+y²)

≥[(a+b)²-2ab]xy+ab·2xy
=(1-2ab)·xy+2abxy
=xy
∴(ax+by)(ay+bx)≥xy
2.∵a,b,c∈R﹢
∴a+b+c＞0
∴a³＋b³＋c³－3abc
=(a＋b)(a²-ab +b²)+c³-3abc
=(a+b)[(a+b)²-3ab]+c³-3abc
=(a+b)³-3(a+b)ab+c³-3abc
=(a+b+c)[(a+b)²+c²-(a+b)c]-3(a+b)ab-3abc
=(a+b+c)(a²+2ab+b²+c²-ac-bc)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a²+2ab+b²+c²-ac-bc-3ab)
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)
=1/2·(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]≥0
∴a³+b³+c³≥3abc

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已知x、y、a、b∈R+,a+b=10,且a/x+b/y=1,x+y的最小值为18,求a,b. 1.已知集合a=(x,y)/x,y∈R 且x2+y2=1 已知集合a=(x,y)/x,y∈R,且x1.已知集合a=(x,y)/x,y∈R 且x2+y2=1已知集合a=(x,y)/x,y∈R,且x2+y2=1 B=（x,y）/x,y∈R,且y=x则A∩B的元素个数为集合A={y|y=x²+（a+1）x+b,x∈R},B={y|y=-x²-（a-1）x-b,x∈R},且A∩B=[-1,2],集合A={y|y=x²+（a+1）x+b,x∈R},B={y|y=-x²-（a-1）x-b,x∈R},且A∩B=[-1,2],求实数a,b的值 x,y,a,b∈R,x,y为变量,a,b为常数,且a+b=10,(a/x)+(b/y)=1,x+y的最小值为18,求a,b. 已知a,b∈R+,且x+y=1,求证:xy≤1/4 1.若a,b,x,y∈R+,且a+b=1,求证：（ax+by)(ay+bx)≥xy2.已知a,b,c都是正数,求证：a³+b³+c³≥3abc 用反证法证明：若a,b,c∈r ,且x=a*2-2b+1,y=b*2-2c+1,z=c*2-2a+1,则x,y,z至少有一用反证法若a,b,c属于R且x=a^2-2b+1,y=b^2-2c+1,z=c^2-2a+1.则x,y,z中至少有一个不小于零. 不等式的一道题目已知a,b,x,y∈R＋且a/x+b/y=1,求x+y的最小值已知x,y,a,b∈R,且a/x+b/y=1,求x+y的最小值说错了这些数都是正实数。【急!】设a,b,x,y,∈R且a/x+b/y=1,求x+y的最小值谢谢了, 若集合A={y|y=2^x,x∈R},B={y|y=-x^2+1,x∈R},则A∩B= 已知集合A=｛y|y=2^|x| -1,x∈R},集合B=｛y|y=√-x²+2x+3 ,x∈R},则集合｛x|x∈A且x不属于B｝= 设x,y∈R,a＞1,b＞1,若a∧x=b∧y=2,且2a+b=8,求1/x+1/y的最大值 A={y|y=x+1/X-1,x∈R且x≠1}B={y|y=x²+x+1,x∈R}求A∩B 在映射f:A→B中,A=B={(X,Y)｜X,Y∈R},且f:(X,Y)→(X-Y,X+Y),与A元素(-1,2)对应B元素是? 已知集合A={x|x=|a|/a+|b|/b,ab≠0,a∈R,b∈R}若B={x|mx-1=0,m∈R}且B包含于A求m 设a,b∈R,且b≠1,若函数y=a│x-1│+b的图像于y=x恒有公共点,则a,b应满足的条件?. 设a,b∈R且b≠1,若函数y=a│x-1│+b的图象与直线y=x恒有公共点,则a,b应满足的条件为?