作业帮利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成希望用高斯公式,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 16:56:03
利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成希望用高斯公式,
利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成
希望用高斯公式,
利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成希望用高斯公式,
这个不能用高斯定理,因为在这个比区域内,含有积分函数的奇点(0,0,0)
所以分开来求即可.
对于z=R和z=-R两个面∑1和∑2,因为dz=0
而且两个面处,z=R处的投影,是朝上的圆面α.z=-R处的投影,是朝下的圆面-α.
所以∫∫∑1+∑2 (xdydz+z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2)
=∫∫∑1+∑2 (z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2)
=∫∫α (R^2dxdy)/(x^2+y^2+R^2) +∫∫(-α) (R^2dxdy)/(x^2+y^2+R^2)
=∫∫α (R^2dxdy)/(x^2+y^2+R^2) -∫∫α (R^2dxdy)/(x^2+y^2+R^2)
=0
对于圆柱面∑3,因为在xoy面上的投影面积为0,所以dxdy=0
利用柱面的法向量n=(x,y)
所以第一类曲面积分和第一类曲面积分的关系为
dydz=[x/√(x^2+y^2)]dS=(x/R)dS=(x/R)2πRdz=2πxdz
所以∫∫∑3 (xdydz+z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2)
=∫∫∑3 (xdydz)/(x^2+y^2+z^2)
=2π∫ (x^2dz)/(x^2+y^2+z^2)
=2π∫ (x^2dz)/(R^2+z^2)
=π∫ (x^2+y^2)dz/(R^2+z^2)
=π∫(-R->R) R^2dz/(R^2+z^2)
=πR∫(-R->R) d(z/R)/[1+(z/R)^2]
=πRarctan(z/R) |(-R->R)
=πR[π/4-(-π/4)]
=(π^2)R/2
综上,原积分=∫∫∫∑1+∑2+∑3
=(π^2)R/2