在平行四边形ABCD中,做BC、CD边的高AE、AF,连接EF,O点是△AEF的垂心,连接AC,求证：AO^2+EF^2=AC^2

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 11:49:51

在平行四边形ABCD中,做BC、CD边的高AE、AF,连接EF,O点是△AEF的垂心,连接AC,求证：AO^2+EF^2=AC^2
在平行四边形ABCD中,做BC、CD边的高AE、AF,连接EF,O点是△AEF的垂心,连接AC,求证：AO^2+EF^2=AC^2

在平行四边形ABCD中,做BC、CD边的高AE、AF,连接EF,O点是△AEF的垂心,连接AC,求证：AO^2+EF^2=AC^2
过E作EM⊥EF交AB于M.
∵O是△AEF的垂心,∴AO⊥EF,又EM⊥EF,∴AO∥ME.
∵O是△AEF的垂心,∴OE⊥AG,又AG⊥DC,∴OE∥DC.
∵ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∴AB∥OE.
由AO∥ME、AB∥OE,得：AOEM是平行四边形,∴AO＝ME.
由勾股定理,有：FM^2＝ME^2＋EF^2＝AO^2＋EF^2.
∵O是△AEF的垂心,∴FO⊥AE,又CE⊥AE,∴FO∥CE,∴∠GOF＝∠GEC.
∵AO∥ME,∴∠AOG＝∠MEG.
∴∠GOF＋∠AOG＝∠GEC＋∠MEG,∴AOF＝∠MEC.
∵FO∥CE、OE∥FC,∴OECF是平行四边形,∴FO＝CE.
由AO＝ME、FO＝CE、∠AOF＝∠MEC,得：△AOF≌△MEC,∴AF＝MC.
∵平行线间处处等距离,而AF是平行线AB、DC间的距离,∴MC也是AB、DC间的距离,
∴MC⊥FC.
由AM∥FC、AF⊥FC、MC⊥FC,得：AFCM是矩形,∴AC＝FM.
∴AC^2＝AO^2＋EF^2.

在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,AE=4,AF=6,平行四边形ABCD的周长为30,则平行四边形的面积是多少 在平行四边形abcd中,ab=6,bc=12,对边ad和bc间的距离为4,则对边ab和cd间的距离是__这道题为什么不能用勾股定理做? 一道平行四边形的题目在平行四边形ABCD中,以BC、CD为边向形外作两个等边△BCE与△CDF.求证：△AEF是等边三角形 如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,则图中AB与CD的距离是指 如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,AE=4,AF=6,BC=9,求平行四边形ABCD的面积和周长 在平行四边行ABCD中,E,F分别为BC,CD边的中点,平行四边形ABCD的面积大约是三角形EFC面积的几倍? 如图,在平行四边形ABCD中,点E,F,M,N分别在边AB,CD,BC,AD上,EF||BC,MN||AB.已知四边形AEPN,EBMP,CFPM的面积分别是6,4,8.求平行四边形ABCD的面积. 在平行四边形ABCD中,边BC与CD的差为2CM,AP平分∠BAD,交边BC于P,求PC的长 在四边形ABCD中,AB=CD,BC平行于AD,求证：四边形ABCD是平行四边形 在四边形ABCD中AB=CD,BC平行于AD,四边形ABCD是平行四边形吗? 在平行四边形ABCD中,做BC、CD边的高AE、AF,连接EF,O点是△AEF的垂心,连接AC,求证：AO^2+EF^2=AC^2 在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F 说明S△ABF=S平行四边形ABCD 如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=8,AB=10,BD=6,求BC,CD,AC的长及平行四边形ABCD的面积 以平行四边形ABCD的BC,CD边为边在四边形内侧做等边三角形BCE和等边三角形DCF求证；三角形AEF为等边三角形 以平行四边形ABCD的BC,CD边为边在四边形内侧做等边三角形BCE和等边三角形DCF求证；三角形AEF为等边三角形 在平行四边形ABCD中,AE垂直于BC,AF垂直于CD,AE:AB=4:5,平行四边形ABCD的周长为20cm,求AE+AF 在平行四边形ABCD中,已知AB,BC,CD三边长分别为a^2+2,a-2,5a-2,求平行四边形ABCD的周长 在平行四边形ABCD中,AE垂直BC,AF垂直CD,若角EAF=60度,BE=2,DF=3则平行四边形ABCD的周长为?