作业帮什么是欧拉线性质
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 16:07:41
什么是欧拉线性质
什么是欧拉线性质
什么是欧拉线性质
欧拉线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.
欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.
如图,设D,E,F为△ABC三边的中点,则△DEF∽△ABC,且相似比K=.
设M为△ABC的重心,因为△DEF的三条中线是△ABC相应中线的一部分,所以M也是△DEF的重心.
又△ABC的外心O恰好是△DEF的垂心.
设H为△ABC的垂心,连MO,HM.
∵ △DEF∽△ABC,DO,AH和DM,AM恰好是△DEF和△ABC的两对对应线段.
∴.
又 ∠ODM=∠HAM,
∴ △ODM∽△HAM,∠OMD=∠HMA.
∵ AMD为一直线,
∴ O,M,H三点共线,且OM∶MH=1∶2.
设P为AH的中点,则PD的中点N即为九点圆的圆心.
由上面的证明,易知.
故PD的中点N也是OH的中点.
由此,三角形的外心O、重心M、九点圆圆心N、垂心H依次位于同一直线上,即在三角形的欧拉线上.