正四面体内切球和外接球体积的计算 棱长可以设为a

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 02:40:01

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正四面体内切球和外接球体积的计算 棱长可以设为a
设正四棱锥P-ABC,作PH⊥平面ABC,垂足H,则H是正△ABC外（内、重心）,连结AH,交BC于D,则AD=√3a/2,
根据重心性质,AH=2AD/3=√3a/3,
在RT△PAH中,根据勾股定理,
PH=√（a^2-3a^2/9)=√6a/3,
设内切球心O1,分别连结O1P、O1A、O1B、O1C,
它们组成4个小正三棱锥,高是内切球半径r,
底面是正四面体各面,均是正三角形,若正三角形面积为S,则体积和为4*S*r/3,
VP-ABC=PH*S/3=(√6a/3)*S/3=4Sr/3,
∴r=√6a/12.
∴内切球体积V1=4πr^3/3=√6πa^3/216,
设外接球半径为R,
球心O2（实际二心重合）,
PO2=AO2=R,
（PH-R）^2+AH^2=R^2,
(√6a/3-R）^2+(√3a/3)^2=R^2,
R=√6a/4,
∴V外接球=4πR^3/3=4π（√6a/4)^3/3=√6πa^3/8.

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