作业帮数列a(n)=n (n+1)(n+2)(n+3),求S(n)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 04:19:54
数列a(n)=n (n+1)(n+2)(n+3),求S(n)
数列a(n)=n (n+1)(n+2)(n+3),求S(n)
数列a(n)=n (n+1)(n+2)(n+3),求S(n)
全部展开,A(n)=an^4+bn^3+cn^2+dn+6然后分4个数列求和,前面系数提出来就是单阶的求和了,都有公式吧
楼上的做法虽然可以做出来，但是必须记住自然数的1到4次方公式
1+2+……+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+……+n^3=n^2(n+1)^2/4
1^4+2^4+……+n^4=n(15n^3+10n^2-1)/30,
然后再代入a(n)=n (n+1)(n+2)(n+3)的展开式中，这已经很...
全部展开
楼上的做法虽然可以做出来，但是必须记住自然数的1到4次方公式
1+2+……+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+……+n^3=n^2(n+1)^2/4
1^4+2^4+……+n^4=n(15n^3+10n^2-1)/30,
然后再代入a(n)=n (n+1)(n+2)(n+3)的展开式中，这已经很复杂了。
下面介绍一种简单方法：
因为an=(1/5)[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)]
令n=1,2,……,n得
a1=(1/5)(1*2*3*4*5)
a2=(1/5)(2*3*4*5*6-1*2*3*4*5)
a3=(1/5)(3*4*5*6*7-2*3*4*5*6)
……
an=(1/5)[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)]
上面n个式子相加得
Sn=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5
是不是干净漂亮，呵呵！
收起
a(n)/4!=n(n+1)(n+2)(n+3)/4!
=组合数(n+3,4)
=(n+4,5)-(n+3,5)
=s(n)/4!-s(n-1)/4!
故 s(n)=(n+4,5)*4!
=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5
a(n) -a(n-1)=4n(n+1)(n+2)
a(n-1)-a(n-2)=4(n-1)n(n-2)
.
.
.
a2 -a1 =4*2*3*4
a1 =4*3*2*1
叠加得
a(n)=4n(n+1)(n+2)
由此可设b(n)=5n(n+1)(n+2)(n+3)
同理 Sn=n(n+1)(n+2)(n+3)/5