作业帮例如（n+1)2^n求和如何做?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 05:56:47
例如（n+1)2^n求和如何做?
例如（n+1)2^n求和如何做?
例如（n+1)2^n求和如何做?
错位相减
即Tn=2*2+3*2^2+……+（n+1)2^n
2Tn=2*2^2+3*2^3+……+n*2……n+（n+1)2^（n+1）
把这两式相减即可,下面的自己算吧
设前n项之和为S(n)。又令P(n) = 2^1+2^2+...+2^n.
S(n) = 2 * 2^1 + 3 * 2^2 + 4 * 2^3 + ... + (n+1)*2^n
P(n) = 1 * 2^1 + 1 * 2^2 + 1 * 2^3 + ... + 1 *2^n
S(n)-P(n)
= 1 * 2^1 + 2 * 2^2 + 3 *...
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设前n项之和为S(n)。又令P(n) = 2^1+2^2+...+2^n.
S(n) = 2 * 2^1 + 3 * 2^2 + 4 * 2^3 + ... + (n+1)*2^n
P(n) = 1 * 2^1 + 1 * 2^2 + 1 * 2^3 + ... + 1 *2^n
S(n)-P(n)
= 1 * 2^1 + 2 * 2^2 + 3 * 2^3 + ... + n * 2^n
(S(n)-P(n))/2
= 1 +2 * 2^1 + 3 * 2^2 + 4 * 2^3 +...+n*2^(n-1)
= S(n)+1-(n+1)*2^n
即(S(n)-P(n))/2 = S(n)+1-(n+1)*2^n.
现有P(n) = 2^(n+1)- 2（这个应该会求吧）
S(n) - 2^(n+1)+2 = 2S(n) + 2 - (n+1)*2^(n+1)
解得S(n) = n*2^(n+1)
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对这种求等差和等比数列乘积的和用乘公比错位相减
设和为
y=2*2¹+3*2²+4*2³+……+（n+1)2^n①
同乘以公比2
2y=....2*2²+3*2³+……+n*2^n+(n+1)2^(n+1)②
两式相减得（注意对应项相减）
-y=2*2¹+2²+2³+……...
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对这种求等差和等比数列乘积的和用乘公比错位相减
设和为
y=2*2¹+3*2²+4*2³+……+（n+1)2^n①
同乘以公比2
2y=....2*2²+3*2³+……+n*2^n+(n+1)2^(n+1)②
两式相减得（注意对应项相减）
-y=2*2¹+2²+2³+……+2^n-(n+1)2^(n+1)
在化简（应用等比数列的求和公式）
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（n+1)2^n求和:
设所求为S（n），则
S(n)=2*2^1+3*2^2+4*2^3+...+(n+1)*2^n,则有
2S(n)=2*2^2+3*2^3+4*2^4+...+(n+1)*2^(n+1)
两式相减，有
-S(n)=2*2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^n-(n+1)*2^(n+1)
到这里再用等比数列求和公式、通分、移...
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（n+1)2^n求和:
设所求为S（n），则
S(n)=2*2^1+3*2^2+4*2^3+...+(n+1)*2^n,则有
2S(n)=2*2^2+3*2^3+4*2^4+...+(n+1)*2^(n+1)
两式相减，有
-S(n)=2*2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^n-(n+1)*2^(n+1)
到这里再用等比数列求和公式、通分、移项即可
注：以上用的是一种重要的方法，称为错位相减法
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