在锐角三角形ABC中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且tanA-tanB=三分之根号三（1+tanAtanB）（1）若c²=a²+b²-ab,求A、B、C的大小（2）已知向量m=（sinA,cosA）,n=（cosB,sinB）,求|3m-2n|的

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 17:14:54

在锐角三角形ABC中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且tanA-tanB=三分之根号三（1+tanAtanB）（1）若c²=a²+b²-ab,求A、B、C的大小（2）已知向量m=（sinA,cosA）,n=（cosB,sinB）,求|3m-2n|的
在锐角三角形ABC中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,
且tanA-tanB=(√3/3)（1+tanAtanB）
（1）若c²=a²+b²-ab,求A、B、C的大小
（2）已知向量m=（sinA,cosA）,n=（cosB,sinB）,求|3m-2n|的取值范围.
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)=√3/3,故A-B=π/6.(1)
(1) c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab,∴2cosC=1,即cosC=1/2,∴C=π/3.
∴A+B=π-π/3=2π/3.(2)
(1)+(2)即得2A=5π/6,故A=5π/12；2B=2π/3-π/6=π/2,故B=π/4.
即A=75⁰,B=45⁰,C=60⁰.
(2) m=sinA+icosA,n=cosB+isinB；3m=3sinA+i3cosA,2n=2cosB+i2sinB；
3m-2n=(3sinA-2cosB)+i(3cosA-2sinB)
│3m-2n│=√[(3sinA-2cosB)²+(3cosA-2sinB)²]
=√[(9sin²A-12sinAcosB+4cos²B)+(9cos²A-12cosAsinB+4sin²B)]
=√[13-12(sinAcosB+cosAsinB)]=√[13-12sin(A+B)]=√[13-12sin(2π/3)]=√[13-12sin(π/3)]
=√[13-12×(√3/2)]=√(13-6√3)

全部展开

（1）由余弦定理知：C=60°，tan(A-B)=三分之根号三.∴A=75°，B=45°
（2）m=sinA+icosA，n=cosB+isinB；3m=3sinA+i3cosA，2n=2cosB+i2sinB；
3m-2n=(3sinA-2cosB)+i(3cosA-2sinB)
│3m-2n│=√[(3sinA-2cosB)²+(3cosA-2sinB)²]
=√[(9sin²A-12sinAcosB+4cos²B)+(9cos²A-12cosAsinB+4sin²B)]
=√[13-12(sinAcosB+cosAsinB)]=√[13-12sin(A+B)]
∵在锐角三角形中，所以A+B>90°
又∵A-B=30°，所以A+B<150°即1/21<│3m-2n│<√7
第一楼的解法缺少对A+B的范围的讨论。

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