作业帮求解一道曲线积分的题∫c (y+sinx)dx + (z^2+cosy)dy +x^3dzc是曲线 r(t)=sint i+ cost j+ sin2t k>,0≤t≤2πc 在曲面z=2xy 上
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 11:15:33
求解一道曲线积分的题∫c (y+sinx)dx + (z^2+cosy)dy +x^3dzc是曲线 r(t)=sint i+ cost j+ sin2t k>,0≤t≤2πc 在曲面z=2xy 上
求解一道曲线积分的题
∫c (y+sinx)dx + (z^2+cosy)dy +x^3dz
c是曲线 r(t)=sint i+ cost j+ sin2t k>,0≤t≤2π
c 在曲面z=2xy 上
求解一道曲线积分的题∫c (y+sinx)dx + (z^2+cosy)dy +x^3dzc是曲线 r(t)=sint i+ cost j+ sin2t k>,0≤t≤2πc 在曲面z=2xy 上
这题直接套公式就可以了.
x=sint,y=cost,z=sin2t,dx=costdt,dy=-sintdt,dz=2cos2tdt；代入得
原积分
=∫（从0到2pi） [(cost+sin(sint))*cost-(sin^2(2t)+cos(cost))*sint+2sin^3t*cos2t]dt
利用周期性,积分区间也可写为从-pi到pi,注意到
sin^2(2t)*sint和sin^3t*cos2t都是奇函数,积分值是0；
sin(sint)*cost的原函数是sin(sint),-cos(cost)*sint的原函数是cos(cost),积分值也都是0；
cos^2t的积分值是pi,故原积分值=pi.
x=sint,y=cost=(1-x^2)^(1/2),z=sin2t=2sintcost=2xy,dx=costdt,dy=-sintdt,dz=2cos2tdt,
∫c (y+sinx)dx =∫c ((1-x^2)^(1/2)+sinx)dx =1/2*arcsinx+1/2*x*(1-x^2)^(1/2)-cosx
=1/2*t+1/2*sint*cost-cos(sint...
全部展开
x=sint,y=cost=(1-x^2)^(1/2),z=sin2t=2sintcost=2xy,dx=costdt,dy=-sintdt,dz=2cos2tdt,
∫c (y+sinx)dx =∫c ((1-x^2)^(1/2)+sinx)dx =1/2*arcsinx+1/2*x*(1-x^2)^(1/2)-cosx
=1/2*t+1/2*sint*cost-cos(sint)( t 从0到2π)= π
∫c (z^2+cosy)dy=∫c (4*y^2*(1-y^2)+cosy)dy=∫c (4*y^2-4y^4+cosy)dy
=4/3* y^3-4/5* y^5+siny=4/3* cost ^3-4/5* cost ^5+sin(cost) ( t 从0到2π)=0
∫c x^3dz=∫c sint ^3*2cos2tdt=∫c sint (1-cos2t)/2*2cos2tdt=∫c sint cos2tdt-∫c sint(cos2t)^2dt
=∫c sint cos2tdt-∫c sint(1-cos4t)/2*dt
=∫c sint cos2tdt-1/2*∫c sintdt+1/2*∫c sintcos4t)dt( t 从0到2π)=0
所以，原积分=π+0+0=π
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