关于高等数学曲率的一点疑问,为什么曲率要用da/ds呢?直接用da/dx也可以表示极小距离上曲线导数的变化率.而用da/ds还要求一个弧微分,公式也更麻烦.是不是有什么别的含义呢?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/26 23:43:39

关于高等数学曲率的一点疑问,为什么曲率要用da/ds呢?直接用da/dx也可以表示极小距离上曲线导数的变化率.而用da/ds还要求一个弧微分,公式也更麻烦.是不是有什么别的含义呢?
关于高等数学曲率的一点疑问,
为什么曲率要用da/ds呢?直接用da/dx也可以表示极小距离上曲线导数的变化率.而用da/ds还要求一个弧微分,公式也更麻烦.是不是有什么别的含义呢?

关于高等数学曲率的一点疑问,为什么曲率要用da/ds呢?直接用da/dx也可以表示极小距离上曲线导数的变化率.而用da/ds还要求一个弧微分,公式也更麻烦.是不是有什么别的含义呢?
圆弧的弯曲程度是处处一样的,即是一个常数,所以予以定义是有意义的,这就是曲率.圆弧的曲率被定义为单位弧长所对的弧度,数值上等于圆弧半径的倒数.半径较小的圆弧确实弯得更急,即曲率更大,所以这样定义的曲率是合理的.
一般曲线的弯曲程度不是处处相等的,故定义整体曲率没有意义,但曲线在某点处的弯曲程度具有内秉性,予以定义是有意义的,显然把它定义为曲线在该点的密切圆的曲率是自然合理的.
那么密切圆是什么呢?我们先看切线是什么——切线是极限弦.弦是连接曲线上两点的线段,当两点非常接近时,弦用来代替所夹曲线,这是一种最朴素的逼近.让我们来改进这个逼近：在曲线上取很近的3点,作连结这3点圆弧(当然是劣弧）,用圆弧来代替那段曲线,因为圆弧是仅次于直线的简单曲线.当3点无穷接近时,就得到极限圆弧,沿圆弧画出的极限圆就是密切圆.
这样定义的曲线曲率,用微分公式表示当然是da/ds,即单位弧长所弯的弧度.
显然,曲率是曲线的内秉几何量,即与坐标系的选取无关,而da/dx就不是,它显然是相对于坐标系的一个量.

dx是依赖坐标系的变化的，ds反映的是曲线本身的特性，与坐标无关

关于高等数学曲率的一点疑问,为什么曲率要用da/ds呢?直接用da/dx也可以表示极小距离上曲线导数的变化率.而用da/ds还要求一个弧微分,公式也更麻烦.是不是有什么别的含义呢? 求曲率和曲率半径.求抛物线Y=X^2上任意一点处的曲率和曲率半径. 为什么抛物线顶点处的曲率最大?曲率半径最小？ 关于考研数学曲率,方程近似解求椭圆4x^2+y^2=4在点（0,2）处的曲率时,为什么要用参数方程求解,把y用x表示出来后再带曲率公式为什么就不对了?还有,数学三考不考曲率部分和方程近似解啊? 地球的曲率是多少 曲率的定义 椭圆的曲率 曲率是什么?为什么一个比率还有半径的（曲率半径）? 抛物线任何一点的曲率是一样的吗? 关于牛顿环：如果要增加同心环的环数,应用曲率较小的凸透镜,为什么?曲率较小意味着什么?从上、下表面反射时的路程差变化就快,这句话我不懂曲率较小是不是牛顿环弯曲度大 曲线任意一点曲率半径的数学方法RT CATIA 中曲率分析的作用 是啥?为啥要做曲率曲面分析啊? 高等数学用曲率的知识作出曲线y=x－lnx的图形 高等数学 求某点处的曲率就是求它的2阶导数吗 为什么高差测量必须考虑地球曲率的影响 牛顿环可以测量小的曲率半径吗?为什么? 曲面的最小曲率和最大曲率什么意思 什么是曲率半径?椭圆的曲率半径怎么算