在四面体ABCD中,设AB=1,CD=2且AB垂直CD ,若异面直线AB与CD间的距离为2,则四面体ABCD的体积为 .
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 20:36:32
在四面体ABCD中,设AB=1,CD=2且AB垂直CD ,若异面直线AB与CD间的距离为2,则四面体ABCD的体积为 .
在四面体ABCD中,设AB=1,CD=2且AB垂直CD ,若异面直线AB与CD间的距离为2,则四面体ABCD的体积为 .
在四面体ABCD中,设AB=1,CD=2且AB垂直CD ,若异面直线AB与CD间的距离为2,则四面体ABCD的体积为 .
∵AB垂直于CD,
∴可以做一包含AB的平面α,
使平面α与线段CD垂直.
这样α将四面体剖成两个小的四面体.
将截面视为底,CD视为两个四面体高的总和,
那么两个小四面体的体积之和即为四面体ABCD的体积:
V=1/3×(1/2×2×1)×2=2/3
令直线AB、CD的公垂线分别交AB、CD于E、F。
显然有:△ABF的面积=(1/2)AB×EF=(1/2)×1×2=1。
∵CF⊥AB、CF⊥EF、AB∩EF=E,∴CF⊥平面ABF,
∴C-ABF的体积=(1/3)△ABF的面积×CF=CF/3。······①
∵DF⊥AB、DF⊥EF、AB∩EF=E,∴DF⊥平面ABF,
∴D-ABF的体积=(1/3)...
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令直线AB、CD的公垂线分别交AB、CD于E、F。
显然有:△ABF的面积=(1/2)AB×EF=(1/2)×1×2=1。
∵CF⊥AB、CF⊥EF、AB∩EF=E,∴CF⊥平面ABF,
∴C-ABF的体积=(1/3)△ABF的面积×CF=CF/3。······①
∵DF⊥AB、DF⊥EF、AB∩EF=E,∴DF⊥平面ABF,
∴D-ABF的体积=(1/3)△ABF的面积×DF=DF/3。······②
①+②,得:C-ABF的体积+D-ABF的体积=(CF+DF)/3=CD/3=2/3。
∴A-BCD的体积=C-ABF的体积+D-ABF的体积=2/3。
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