几何学与欧几里德 【尽量简练】

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 18:49:10

几何学与欧几里德 【尽量简练】
几何学与欧几里德 【尽量简练】

几何学与欧几里德 【尽量简练】
欧几里得几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学.
欧几里得几何有时就指平面上的几何,即平面几何.本文主要描述平面几何.三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何.高维的情形请参看欧几里得空间.
数学上,欧几里得几何是平面和三维空间中常见的几何,基于点线面假设.数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何.
其中公设五又称之为平行公设（Parallel Axiom）,叙述比较复杂,这个公设衍生出“三角形内角和等于一百八十度”的定理.在高斯（F.Gauss,1777年—1855年）的时代,公设五就备受质疑,俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利人波约（Bolyai）阐明第五公设只是公理系统的一种可能选择,并非必然的几何真理,也就是“三角形内角和不一定等于一百八十度”,从而发现非欧几里得的几何学,即“非欧几何”（non-Euclidean geometry）.几里得几何的传统描述是一个公理系统,通过有限的公理来证明所有的“真命题”.
欧几里得平面几何的五条公理(公设)是：
1.任意两个点可以通过一条直线连接.
2.任意线段能无限延伸成一条直线.
3.给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆.
4.所有直角都全等.
5.若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交.
第五条公理称为平行公理（平行公设）,可以导出下述命题：
通过一个不在直线上的点,有且仅有一条不与该直线相交的直线.

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