证明连续性有函数F如果实数X0.那么F(X)=3利用函数连续性的定义证明F在0处不连续.第一个差不多明白了。但还有一题，有一个函数F:X——R，f(x)=x^n试证明，任意一个正整数n，都能是f(x)在a包含

证明连续性有函数F如果实数X0.那么F(X)=3利用函数连续性的定义证明F在0处不连续.第一个差不多明白了。但还有一题，有一个函数F:X——R，f(x)=x^n试证明，任意一个正整数n，都能是f(x)在a包含
证明连续性
有函数F
如果实数X0.那么F(X)=3
利用函数连续性的定义证明F在0处不连续.
第一个差不多明白了。但还有一题，
有一个函数F:X——R，f(x)=x^n
试证明，任意一个正整数n，都能是f(x)在a包含于X的导数 等于f`(a)=na^n-1
非常感谢2楼的回答，但是好像题目不是那个意思。因为题目最后给了一个提示，说的是：“请注意差商可以写成 Á(h) = (（a+h)^n - a^n) /h
嗯嗯，基本上看明白了，也回忆起了很多东西，最后一个问题：为什么要舍去了h^2以上的小量呢？小弟不才，望指教。呵呵
还有，我想起了以前的还一种极限的证明方法，或者在这道题中用哪个好点？
f'(x)=lim(Δx->0) (f(x+Δx)-f(x))/Δx
=lim(Δx->0) ((x+Δx)^n-x^n)/Δx
=lim(Δx->0) (nΔx·x^(n-1)+ A )/Δx
分子中除了第一项nΔx·x^(n-1)外，Δx的次数都至少是2，不再列出用 A 表示
所以 A/Δx->0
所以f'(x)=lim(Δx->0) (nΔx·x^(n-1)+ A )/Δx
=lim(Δx->0) nx^(n-1)
=nx^(n-1)

证明连续性有函数F如果实数X0.那么F(X)=3利用函数连续性的定义证明F在0处不连续.第一个差不多明白了。但还有一题，有一个函数F:X——R，f(x)=x^n试证明，任意一个正整数n，都能是f(x)在a包含
lim(x→0+)F(X)=-2
lim(x→0-)F(X)=3
lim(x→0+)F(X)≠lim(x→0-)F(X)
所以函数F(X),X=0处不连续
第二个问题就是证明,对于任意n,在F（X）的任意点可导.
首先对于任意的n,任意的X
F（X）=lim(x→X+)F(X）=lim(x→X-)F(X)=X^n,
可知道,F（X）在X处连续,
f`(X)|X→X+=nX^(n-1)
f`(X)|X→X-=nX^(n-1)
f`(X)|X→X+ = f`(X)|X→X-
所以 F（X）在X处可导
所以得证
题目的意思,我理解的是正确的,只是……万恶的教材啊,
是不是LZ教材里没学过f(x)=x^n的导数是什么呢?
所以题中的意思指不过就是让你先证明一遍
f`(X)=nX^(n-1),然后再按我这么证明而已.
关于这个导数的证明,因为符号不好打的关系,我用C（i,j）表示组合数
Á(h) = (（a+h)^n - a^n) /h（h是一个任意小的正数）
=（a^n+c(n,1)a^(n-1)h+^...+c(n,n-1)ah^(n-1)+h^n-a^n）/h
=c(n,1)a^(n-1)h/h(此处舍去了h^2以上的小量)
=na^(n-1)
f`(X)=nX^(n-1),就是这么证明出来的.
LZ明白了吧
关于第三个问题
请问LZ,下面的这个式子是怎么来的?
lim(Δx->0) ((x+Δx)^n-x^n)/Δx
=lim(Δx->0) (nΔx·x^(n-1)+ A )/Δx
只不过换了个表示的字母而已,其他的和我说的方法本质是一样的吧.
在数学里,无穷小的整式就可以被看作是0.就是这么简单的道理.
如果LZ非要说这个是两种方法的话,应该是用哪种都对

F-(0)=F(0)=-2 F+(0)=3!=F-(0) 所以不连续 两种方法在本质上是一样的，只是采用的变化量不一样 (（a+h)^n - a^n) /h =（a^n+nha^(n-1)-a^n+A）/h =na^(n-1)+A/h A是a的高阶无穷小，所以A/h=0

f'(x)=lim(Δx->0) (f(x+Δx)-f(x))/Δx =lim(Δx->0) (nΔx·x^(n-1)+ A )/Δx 下面分析为什么要舍去h^2以上的小量，由极限的加减运算性质得到上式等于lim(Δx->0)[nΔx·x^(n-1)]/Δx+lim(Δx->0)A/Δx,这样只需证明lim(Δx->0)A/Δx=0就行了，A表示的有若干项，考虑其中任意一项A1,lim(Δx-...

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f'(x)=lim(Δx->0) (f(x+Δx)-f(x))/Δx =lim(Δx->0) (nΔx·x^(n-1)+ A )/Δx 下面分析为什么要舍去h^2以上的小量，由极限的加减运算性质得到上式等于lim(Δx->0)[nΔx·x^(n-1)]/Δx+lim(Δx->0)A/Δx,这样只需证明lim(Δx->0)A/Δx=0就行了，A表示的有若干项，考虑其中任意一项A1,lim(Δx->0)A1/Δx，由于都是二阶的无穷的小量除以Δx后，还至少剩一个Δx，若干个无穷小量的积仍是无穷的小量，lim(Δx->0)A1/Δx=lim(Δx->0)Δx*C,[Δx也表示非一个无穷的小量]=lim(Δx->0)C*lim(Δx->0)Δx=C*0=0，这里用到了无穷小量的 极限是0，

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