在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于点E.又点F在DE的延长线上,且AF=CE.求证:四边形ACEF是菱形.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/01 22:23:37

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于点E.又点F在DE的延长线上,且AF=CE.求证:四边形ACEF是菱形.

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于点E.又点F在DE的延长线上,且AF=CE.求证:四边形ACEF是菱形.


在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,DE垂直平分BC,垂足为D,交AB于点E.又点F在DE的延长线上,且AF=CE.求证:四边形ACEF是菱形.
因为三角形ABC是直角三角形,又因为∠BAC=60度,所以根据三角形内角和为180度,可得∠B=30度.
所以AB等于2AC(RT三角形30度角所对的边是斜边的一半)
又因为ED垂直平分BC,所以EC等于EB(垂直平分线上的点到线段两边距离相等)
所以E是AB中点,
所以AE=EC
又因为∠BAC=60度,所以三角形AEC是等边三角形,
所以AE=EC=AC
题目中可知:∠ACB=90度,ED垂直于BC,所以AC平行于ED,所以∠FEA=∠CAE=60度,即三角形AFE也是等边三角形
所以AF=FE=AC=CE
所以这是一个菱形