x,1/2,2y成等比数列,则1/x + 1/y的最小值是多少?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 05:24:12

x,1/2,2y成等比数列,则1/x + 1/y的最小值是多少?
x,1/2,2y成等比数列,则1/x + 1/y的最小值是多少?

x,1/2,2y成等比数列,则1/x + 1/y的最小值是多少?
此处还有附加条件x>0,y>0吧
不然我可以取x=-0.00000001
1/x+1/y可以小于-100000000
中间项平方=前项*后项
(1/2)^2=x*2y
xy=1/8
8xy=1
(1/x+1/y)
=(1/x+1/y)(8xy)
=8(x+y)
>=8*2根号(xy) (基本不等式a+b>=2根号(ab))
>=4根号2
此时x=y
又xy=1/8
所以x=y=(根号2)/4
所以最小值为4根号2

∵2xy＝1/4∴ xy＝1/8 x+y≥√2/2 ∵1/x+1/y＝x+y/xy ∴1/x+1/y≤4√2

x×2y=(1/2)²=1/4;
xy=1/8;
∴x＞0,y＞0时；1/x+1/y≥2√（1/xy）=2/2√2=√2/2;最小值为√2/2;
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√2，因为x*2y=(1/2)^2=1/4 ,而1/x+1/y>=2*1/√xy=√2/2

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